金属地结构性质体心立方堆积中八面体空隙四面体空隙半径计算.docxVIP

金属的构造和性质

8.1】半径为R的圆球聚集成正周围体缝隙，试作图计算该周围体的边长和高、中心到极点距离、中心距离地面的高度、中心到两极点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。

解：4个等径圆球作亲密聚集的状况示于图9.1（a）和(b)，图9.1(c)示出聚集所形成

的正周围体缝隙。该正周围体的极点即球心地点，边长为圆球半径的2倍。

图9.1

由图和正周围体的立体几何知识可知：

边长AB=2R

2

2

1

2

2

1

AMAE

EM

2

AB

BE

DE

高

3

1

22

1

2

1

2

2

2

2

2

AB2

1

AB

1

AE

R2

3

R

2R

2

3

3

26R

1.633R

3

OA

3AM

6R

1.225R

中心到极点的距离：

4

2

OM

1AM

6R

0.408R

中心终究边的高度：

4

6

中心到两极点连线的夹角为：

AOB

2

6R/2

2

2

2

2

2

2R

cos1

OA

OB

AB

cos1

2

6R/2

2

2OA

OB

cos1

1/3

109.47

中心到球面的最短距离

OAR

0.225R

本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R的等径圆球最密聚集构造中周围体空

隙所能容纳的小球的最大部分径为0.225R。而0.225正是典型的二元离子晶体中正离子的配

位

多面体为正周围体时正、负离子半径比的下限。本题的结果也是认识hcp构造中晶胞参数的

基础(见习题9.04)。

【8.2】半径为R的圆球聚集成正八面体缝隙，计算中心到极点的距离。

解：正八面体缝隙由6个等径圆球密聚集而成，其极点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。缝隙的实质体积小于八面体体积。图9.2中三图分别示出球的聚集状况及所形成的正八面体缝隙。

图9.2

由图（c）知，八面体缝隙中心到极点的距离为：

1

1

1

OCAC

2AB

22R2R

2

2

2

而八面体缝隙中心到球面的最短距离为：

OCR2RR0.414R

此即半径为R的等径圆球最密聚集形成的正八面体缝隙所能容纳的小球的最大部分径。

0.414

是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时

r/r的下限值。

8.3】半径为R的圆球围成正三角形缝隙，计算中心到极点的距离。解：由图9.3可见，三角形缝隙中心到极点（球心）的距离为：

OA

2AD

2

3R1.155R

3

3

图9.3

三角形缝隙中心到球面的距离为：

OAR1.155RR0.155R

此即半径为R的圆球作亲密聚集形成的三角形缝隙所能容纳的小球的最大部分径，

0.155是“三

角形离子配位多面体”中

r/r的下限值。

【8.4】半径为R的圆球聚集成A3构造，计算简单立方晶胞参数a和c的数值。

解：图9.4示出A3型构造的—个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、4个正周围体

缝隙和两个正八面体缝隙。由图可见，两个正周围体缝隙共用一个极点，正周围体高的两倍

即晶胞参数c，而正周围体的棱长即为晶胞参数a或b。依据9.01题的结果，可得：

图9.4

a

b

2R

c

2

6R

2

4

6R

3

26

3

c/a

1.633

3

【8.5】证明半径为R的圆球所作的体心立方聚集中，

八面体缝隙只能容纳半径为

0.154R的

小球，周围体缝隙可容纳半径为

0.291R的小球。

证明：等径圆球体心立方聚集构造的晶胞示于图

9.5（a）和（b）。由图9.5（a）可见，

八面体缝隙中心分别散布在晶胞的面心和棱心上。所以，每个晶胞中

6个八面体缝隙

61121

24

。而每个晶胞中含2个圆球，所以每个球平均摊到3个八面体缝隙。这些

八面体缝隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体，长轴为2a，短轴为a（a是晶胞参数）。

（圆球，八面体缝隙中心，周围体缝隙中心）

图9.5

八面体缝隙所能容纳的小球的最大部分径

r0即从缝隙中心（沿短轴）到球面的距离，该

a

R

C3

距离为2

。体心立方聚集是一种非最密聚集，圆球只在

轴方向上互相接触，所以

a

4

a

Rr0

2

R

0.154R

R

。代入2

1

3

，得

3

。

由图9.5（b）可见，周围体缝隙中心散布在立方晶胞的面上，每个面有

4个周围体中

6

4

1

心，所以每个晶胞有

12个周围体缝隙

2。而每个晶胞有

2个球，所以每个球平均

3a

摊到6个周围体缝隙。这些周围体缝隙也是变形的，两条长棱皆为a，4条短棱皆为2。

周围体缝隙所能容纳的小球的最大部分径rT等于从周围体缝隙中心到极点的距离减去球

2

2

1

2

a

a

的半径R。而从缝隙中心到极点的距离为

2

4

5a

4

，所以小球的最大部分径为

5aR

5

4RR0.291R

4

4

3

8.6】计算等径圆球密置单层中平均每个球所摊到的三角形缝隙数目及二维聚集密度。解：图9.6示出等径圆球密置单层的—部分。

图9.