第1章概率与随机过程.pptVIP

母函数有如下性质:3.设独立,且,则4.若X的n阶矩存在,则其母函数的k(k?n)阶导数存在(|s|?1),且X的k阶矩可由母函数在s=1的各阶导数表示,如*第61页，共111页，星期日，2025年，2月5日5.(反演公式)设随机变量X的分布律为母函数为则分布律可由下式给出:*第62页，共111页，星期日，2025年，2月5日设,求证:X的母函数是,(1)利用矩母函数的性质求X的前4阶原点矩.(2)利用矩母函数的性质证明:两个独立poisson分布随机变量的和仍然服从poisson分布.EX*第63页，共111页，星期日，2025年，2月5日三、特征函数的定义1.复随机变量与特征函数(1)复随机变量:若X与Y都是概率空间(?,F，P)上的实值随机变量，则Z=X+iY称为复值随机变量，其中;规定EZ=EX+iEY(2)特征函数:设X是实随机变量，则称为X的特征函数。*第64页，共111页，星期日，2025年，2月5日（3）设{X(t)，t?T}为随机过程，称为{X(t)，t?T}的n维特征函数；称为{X(t)，t?T}的有穷维特征函数族。由于r.v.的特征函数与分布函数有一一对应关系，所以，可以通过随机过程的有穷维特征函数族来描述它的概率特性。*第65页，共111页，星期日，2025年，2月5日2、几个常用随机变量的特征函数(1)单点分布:若X~P{X=c}=1，则?(t)=eitc；(2)二项分布B(n,p):若(3)泊松分布P(?):若则则*第66页，共111页，星期日，2025年，2月5日(4)正态分布N(?,?2):若则易知，已知一个随机变量的概率分布可计算出它的特征函数，反之亦然。事实上，在特征函数理论中，有逆转公式和唯一性定理。因此，可认为：随机变量的概率分布与它的特征函数是一一对应的。*第67页，共111页，星期日，2025年，2月5日逆转公式:设x1,x2是分布函数F(x)的连续点,则进一步,若特征函数于R上绝对可积,则X是连续型随机变量,且其概率密度f(x)为唯一性定理:分布函数F1(x)及F2(x)恒等的充要条件是它们的特征函数?1(t)与?2(t)恒等.*第68页，共111页，星期日，2025年，2月5日3、特征函数的性质(1)|?(t)|??(0)=1；(2)共轭对称性：(3)特征函数?(t)在(??，?)上一致连续；(4)若Y=aX+b，则(5)若X、Y独立，Z=X+Y，则(6)若EXn存在，则?(t)可以微分n次，且*第69页，共111页，星期日，2025年，2月5日四、随机向量的特征函数

1、定义设随机向量X=(X1,…,Xn)’，则对任意n个实数t1,…,tn：称为n维随机向量X的n维特征函数。n维特征函数也有逆转公式和唯一性定理，由n维特征函数也可以唯一地确定随机向量X的概率分布。*第70页，共111页，星期日，2025年，2月5日2、n维特征函数的性质(1)|?(t1,···,tn)|??(0,···,0)=1；(2)共轭对称性：(3)特征函数?(t1,···,tn)在n维欧氏空间Rn上一致连续；(4)k维随机向量X=(X1,···,Xk)’的特征函数为(0kn)(6)X1,···,Xn相互独立?(5)若Y=a1X1+···+anXn，则?Y(t)=?(a1t,···,ant)；*第71页，共111页，星期日，2025年，2月5日三、正态随机向量及其性质设X=(X1,···,Xn)’为n维随机向量，x=(x1,···,xn)’为n维实向量，若X的概率密度为则称X是n维正态随机向量，它服从n维正态分布。记为X?Nn(?,B)。*第72页，共111页，星期日，2025年，2月5日定理n维正态分布的特征函数为其中t是n维实参数向量。n维正态分布还可如下定义：若n维随机向量X具有形如（?）式的特征函数，则称X服从n维正态分布。（?）注意：对|B|=0的情形这个定义仍有意义，而前面从密度函数出发定义的n维正态分布此时却没有意义。故，用n维特征函数定义的n维正态分布更为一