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2025年近世代数试卷5及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.设G是一个群，a,b∈G，若a^2=b^2且ab=ba，则下列结论正确的是（）。

A.a=b

B.a=b^(-1)

C.a^2=b^(-1)

D.a=b或a=b^(-1)

答案：D

2.有限群G的阶为n，若存在元素a∈G使得a^n=e（单位元），则a的阶（最小正整数m，使得a^m=e）一定整除n，这个定理称为（）。

A.拉格朗日定理

B.欧拉定理

C.拉姆齐定理

D.高斯定理

答案：A

3.下列哪个集合和运算构成一个群？（）

A.整数集Z，运算是加法

B.非零实数集R\{0}，运算是乘法

C.2x2实矩阵集，运算是矩阵乘法

D.非负整数集N，运算是乘法

答案：A

4.在群G中，若a^3=e，b^3=e且(ab)^2=e，则ab的阶为（）。

A.1

B.2

C.3

D.6

答案：B

5.有限群G的阶为p（素数），则G一定是（）。

A.交换群

B.循环群

C.阿贝尔群

D.单位群

答案：B

6.两个群的直积G×H的元素是（）。

A.G和H的元素的有序对

B.G和H的元素的并集

C.G和H的元素的交集

D.G和H的元素的补集

答案：A

7.有限群G的子群H的阶为m，若m整除n，则G中存在至少一个元素a使得a的阶为m，这个定理称为（）。

A.拉格朗日定理

B.欧拉定理

C.拉姆齐定理

D.高斯定理

答案：A

8.循环群的所有生成元构成的集合是（）。

A.群的任何元素

B.群的单位元

C.群的阶为p的素数阶元素

D.群的阶为n的元素，n为素数

答案：C

9.两个群G和H同构的定义是存在一个双射φ：G→H，使得对任意a,b∈G，有（）。

A.φ(ab)=φ(a)φ(b)

B.φ(ab)=φ(b)φ(a)

C.φ(a)=φ(b)

D.φ(a)+φ(b)=φ(a+b)

答案：A

10.有限群G的每个元素的阶的集合构成一个（）。

A.群

B.半群

C.环

D.域

答案：A

二、多项选择题（每题2分，共10题）

1.下列哪个是群的性质？（）

A.封闭性

B.结合律

C.单位元存在

D.逆元存在

答案：A,B,C,D

2.循环群的性质包括（）。

A.交换群

B.存在生成元

C.子群也是循环群

D.阶为p的素数阶元素生成整个群

答案：A,B,C,D

3.拉格朗日定理的内容包括（）。

A.子群的阶整除群的阶

B.群的阶为p（素数）时，群是循环群

C.群中存在元素a，a的阶整除群的阶

D.群的子群的阶等于群的阶除以子群的阶

答案：A,B,C,D

4.有限群G的子群H的性质包括（）。

A.H的阶整除G的阶

B.H是G的子群

C.H的元素构成G的一个子集

D.H的运算与G的运算相同

答案：A,B,C,D

5.群的同构的性质包括（）。

A.双射

B.保持运算

C.单位元对应

D.逆元对应

答案：A,B,C,D

6.循环群的同构包括（）。

A.同构到整数加法群

B.同构到模n整数加法群

C.同构到非零实数乘法群

D.同构到模p整数乘法群（p为素数）

答案：A,B,C,D

7.有限群G的正规子群的性质包括（）。

A.子群与群的运算可交换

B.群的商群存在

C.子群的左陪集与右陪集相同

D.子群是群的子群

答案：A,B,C,D

8.群的直积的性质包括（）。

A.元素是有序对

B.运算是分量运算

C.子群是直积的子群

D.商群是直积的商群

答案：A,B,C,D

9.群的阶的性质包括（）。

A.阶为p（素数）时，群是循环群

B.阶为n时，存在元素a，a的阶为n

C.阶为n时，每个元素的阶整除n

D.阶为n时，群的子群的阶整除n

答案：A,B,C,D

10.群的生成元的性质包括（）。

A.生成整个群

B.生成元的阶等于群的阶

C.生成元的阶整除群的阶

D.生成元存在时，群是循环群

答案：A,B,C,D

三、判断题（每题2分，共10题）

1.有限群G的每个元素的阶的集合构成一个群。（正确）

2.两个群的直积的阶等于两个群的阶的乘积。（正确）

3.循环群的子群也是循环群。（正确）

4.拉格朗日定理指出子群的阶整除群的阶。（正确）

5.有限群G的正规子群一定是G的子群。（正确）

6.群的同构保持运算。（正确）

7.群的生成元生成整个群。（正确）

8.群的阶为p（素数）时，群是循环群。（正确）

9.