数学建模的常见类型.docVIP

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新课标下初中数学建模的常有种类

汕头市澄海溪南中学陈耀盛

整日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求，标准重申“从

学生以有的经验出发，让学生亲自经历将实质问题抽象成数学模型并进行分析

与应用的过程，从而使学生获取对数学理解的同时，在思想能力。感情态度与

价值观等方面获取进步和发展。”增强数学建模的能力，不但能使学生更好地掌

握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法。也能增强学生应用数学的意识，

提升分析问题，解决实质问题的能力。2007年全国各地的中考试题观察学生建

模思想和意识的题目有好多，现分类举例说明。

一、建立“方程（组）”模型

现实生活中广泛存在着数目之间的相等关系，“方程（组）”模型是研究现实世界数目关系的最基本的数学模型，它可以帮助人们从数目关系的角度更正确、清楚的认识、描述和掌握现实世界。诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增

长率、存储利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成“方程（组）”模型，经过列方程（组）加以解决

例1（2007年深圳市中考试题）A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、

B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管

道。已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程对提前3周动工，结

果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？

解：设甲工程队每周铺设管道x公里，则乙工程队每周铺设管道（x＋1）公

里。

依题意得：18183

xx1

解得x1=2，x2=－3

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经检验x1=2，x2=－3都是原方程的根。

但x2=－3不吻合题意，舍去。∴x＋1=3

答：甲工程队每周铺设管道2公里，则乙工程队每周铺设管道3公里。二、建立“不等式（组）”模型

现实生活建立中相同也广泛存在着数目之间的不等关系。诸如兼顾安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题，可以经过给出的一些数据进行分析，将实质问题转变为相应的不等式问题，利用不等式的相关性质加以解决。

例2（2007年茂名市中考试题）某体育用品商场采买员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总数不得超出11815元。已知两种球厂家的批发价和商场的零售价以下表，试解答以下问题：

品名

厂家批发价(元/只)

商场零价（元/只）

篮球

130

160

排球

100

120

1）该采买员最多可购进篮球多少只？

2）若该商场能把这100只球所有以零售价售出，为使商场获取的利润不低于

2580元，则采买员最少要购篮球多少只？该商场最多可盈余多少元？

解：（1）该采买员最多可购进篮球ｘ只，则排球为（100－x）只，

依题意得：130x＋100（100－x）≤11815

解得x≤60.5

∵x是正整数，∴x＝60

答：购进篮球和排球共100只时，该采买员最多可购进篮球60只。

（2）该采买员最少要购进篮球ｘ只，则排球为（100－x）只，

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依题意得：30x＋20（100－x）≥2580

解得x≥58

由表中可知篮球的利润大于排球的利润，所以这100只球中，当篮球最多

时，商场可盈余最多，即篮球60只，此时排球均匀每天销售40只，

商场可盈余（160－130）×60＋（120－100）×40=1800＋800=2600（元）

答：采买员最少要购进篮球58只，该商场最多可盈余2600元。

三、建立“函数”模型

函数反响了事物间的广泛联系，揭穿了现实世界众多的数目关系及运动规

律。现实生活中，诸如最大盈余、用料价造、最正确投资、最小成本、方案最优

化问题，常可建立函数模型求解。

例3（2007年贵州贵阳市中考试题）某水果批发商销售每箱进价为

40元

的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于

55元，市场检查发现，若每箱以

50

元的价格销售，均匀每天销售90箱，价格每提升1元，均匀每天少销售

3箱。

1）求均匀每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。

2）求该批发商均匀每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。

3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获取最大利润？最大利润是多少？解：（1）y=90－3（x－50）化简，得y=－3x＋240

2）w=（x－40）（－3x＋240）

=－3x2＋360x－9600

3）w=－3x2＋360x－9600

－3（x－60）2＋1125

∵a=－3＜0∴抛物线张口向下

当x=60时，w有最大值，又x＜60，w随x的增大而增大，

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∴当x=55时，w的最大值为1125元，

∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获取最大利润1125元的最

大利润

四、建立“几何”模型

几何与人类生活和实质亲近相关，诸如丈量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及必定图形的性质时，常需建立“几何模型，把实质问题转变为几何问题加以解决

例4（20