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高等几何题目试卷及答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）

1.在欧氏几何中，两条平行线的性质是

A.相交

B.平行

C.异面

D.重合

答案：B

2.在非欧几何中，欧拉公式的形式是

A.V-E+F=2

B.V-E+F=0

C.V+E-F=2

D.V+E+F=0

答案：B

3.在射影几何中，完全四线形的对合性质是

A.双曲型

B.椭圆型

C.抛物型

D.直线型

答案：A

4.在仿射几何中，平行投影的性质是

A.保持角度

B.保持长度

C.保持面积

D.保持平行性

答案：D

5.在非欧几何中，双曲几何的曲率是

A.正

B.负

C.零

D.无穷

答案：B

6.在射影几何中，调和集的性质是

A.共线

B.共点

C.不变

D.可变

答案：C

7.在仿射几何中，中心对称的性质是

A.保持角度

B.保持长度

C.保持面积

D.保持对称性

答案：D

8.在非欧几何中，黎曼几何的曲率是

A.正

B.负

C.零

D.无穷

答案：A

9.在射影几何中，极点与极线的性质是

A.相交

B.平行

C.异面

D.重合

答案：A

10.在仿射几何中，相似变换的性质是

A.保持角度

B.保持长度

C.保持面积

D.保持形状

答案：B

二、多项选择题（总共10题，每题2分）

1.欧氏几何的基本公理包括

A.平行公理

B.交点公理

C.连续公理

D.齐次公理

答案：A,B,C

2.非欧几何的类型包括

A.双曲几何

B.椭圆几何

C.欧氏几何

D.仿射几何

答案：A,B,C

3.射影几何的基本定理包括

A.德萨格定理

B.完全四线形定理

C.调和集定理

D.巴布什定理

答案：A,B,C

4.仿射几何的性质包括

A.保持平行性

B.保持角度

C.保持长度

D.保持面积

答案：A,B,C

5.非欧几何的应用包括

A.宇宙学

B.物理学

C.几何学

D.计算机图形学

答案：A,B,C,D

6.射影几何的元素包括

A.点

B.线

C.面积

D.体积

答案：A,B

7.仿射几何的变换包括

A.平移

B.旋转

C.相似变换

D.透视变换

答案：A,B,C

8.非欧几何的曲率类型包括

A.正曲率

B.负曲率

C.零曲率

D.无穷曲率

答案：A,B,C

9.射影几何的对合性质包括

A.双曲型

B.椭圆型

C.抛物型

D.直线型

答案：A,B,C

10.仿射几何的对称性质包括

A.中心对称

B.轴对称

C.面对称

D.体积对称

答案：A,B,C

三、判断题（总共10题，每题2分）

1.欧氏几何中的平行公理与非欧几何中的平行公理是相同的。

答案：错误

2.射影几何中的调和集是保持不变的。

答案：正确

3.仿射几何中的相似变换是保持面积的。

答案：错误

4.非欧几何中的黎曼几何是双曲几何的一种。

答案：错误

5.射影几何中的德萨格定理是关于三点共线的。

答案：错误

6.仿射几何中的中心对称是保持角度的。

答案：错误

7.非欧几何中的双曲几何是具有负曲率的。

答案：正确

8.射影几何中的完全四线形是关于四点共面的。

答案：错误

9.仿射几何中的相似变换是保持形状的。

答案：错误

10.非欧几何中的椭圆几何是具有正曲率的。

答案：正确

四、简答题（总共4题，每题5分）

1.简述欧氏几何与非欧几何的主要区别。

答案：欧氏几何与非欧几何的主要区别在于平行公理的不同。欧氏几何的平行公理是平行线永不相交，而非欧几何中的平行公理是平行线相交或重合。此外，欧氏几何中的几何空间是平坦的，而非欧几何中的几何空间是弯曲的。

2.简述射影几何中的调和集的性质。

答案：调和集在射影几何中是一个重要的概念，它是指四个点A,B,C,D在一条直线上的调和共轭。调和集的性质是，如果A,B,C,D是调和集，那么对于任意一点P，调和集的调和性质保持不变，即调和集的调和性质是射影不变的。

3.简述仿射几何中的中心对称的性质。

答案：仿射几何中的中心对称是指一个几何图形绕一个固定点旋转180度后与原来的图形完全重合。中心对称的性质是保持图形的形状和大小，但改变图形的方向。例如，一个中心对称的图形，其对称中心是图形的重心。

4.简述非欧几何中的双曲几何的特点。

答案：非欧几何中的双曲几何是具有负曲率的几何空间。双曲几何的特点是，平行线会逐渐远离，即两条平行线在无穷远处会相交。此外，双曲几何中的三角形内角和小于180度，且双曲几何中的测地线是双曲线。

五、讨论题（总共4题，每题5分）

1.讨论欧氏几