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抛物线共点切线的一个性质所

引出的几个结论

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抛物线共点切线的一个性质所引出的几个结论-中学数学论

文

抛物线共点切线的一个性质所引出的几个结论

湖北省宜都市一中(443300)刘宜兵段俐荣

过抛物线外一点可向抛物线作二切线，经研究发现，这二切线有以下一个优美

性质。

定理点Q为抛物线y2=2px(p0)外一点,过点Q向抛物线作二切线QA,QB,(其

中A,B为切点),F为抛物线的焦点，则∠BQF=∠(如QAF图。1)

图1证明:设切线QA分别交x轴,y轴于E,M。切线QB分别交x轴,y轴于G,N。

设A(a22p,a),则切线AE方程为ay=px+a22,可得E(－a22p,0),M(0,a2),

易知M为AE的中点。又MF→=p2,－a2,EA→=(a2p,a),MF→·故EA→=0。

故MF⊥EA,进而FM为线段AE的中垂线,此时有∠MEF=∠MAF。

同理FN为GB的中垂线。因∠

QMF=∠QNF=90°,

进而Q,M,F,N四点共圆。故∠

NQF=∠NMF。MO因⊥EF,

故∠MEF=∠OMF。以上可得∠

BQF=∠NMF=∠AEF=∠QAF。

即∠BQF=∠QAF。

下边说明以上结论的几个应用:

由以上证明不难得出∠

AQF=∠QBF,

进而得出

QFB～

AFQ,

故∠QFA=∠QFB且QF2=QA·QB。

进而可得出

推论1点Q为抛物线y2=2px(p0)

外一点,过点Q向抛物线作二切线QA,QB(其

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中A,B为切点),F为抛物线的焦点,则∠QFA=∠QFB且QF2=QA·QB(如图2)。

图2

说明:此定理为江西省2005年高考试题。

由此结论我们还可得抛物线外切三角形的一个性质。

推论2分别以抛物线y2=2px(p0)上三个点A,B,C为切点的三条切线交于E,Q,D,

若F为抛物线的焦点,则E,Q,D,F四点共圆。(如图3)

图3证明:过抛物线外一点Q向抛物线作二切线QA,QB。由定理结论可知

DQF=∠QAF。

相同,由抛物线外一点E向抛物线引二切线EC,EA。由定理结论可知

CEF=∠EAF,

故∠DQF=∠DEF，进而E,Q,D,F四点共圆。

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