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第十三章积分变换法求解定解问题演示文稿

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优选第十三章积分变换法求解定解问题

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对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解．

积分变换法在数学物理方程（也包括积分方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途．尤其当泛定方程及边界条件均为非齐次时，用经典的分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法，并且显得具有固定的程序，按照解法程序进行易于求解．利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变量法不能得到的．

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特别是对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来求解，最合适不过了．（注明：无界或半无界的定界问题也可以用行波法求解）

第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当的积分变换；

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第二：对方程取积分变换，将一个含两个自变量的偏

微分方程化为一个含参量的常微分方程；

第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定

解条件；

第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换；

第五：对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解．

自变量在内变化的定解问题（如时间变量）常采用拉氏变换．

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13.1傅里叶变换法解数学物理定解问题

用分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得到的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数．

对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分．

因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法．

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下面的讨论我们假设待求解的函数u及其一阶导数是有限的.

13.1.1弦振动问题

例13.1.1求解无限长弦的自由振动定解问题

（假定：函数u及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出．这一定解问题在行波法中已经介绍.

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简化表示为

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对其它函数也作傅氏变换，即为

于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题

上述常微分方程的通解为

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代入初始条件可以定出

这样

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最后，上式乘以

并作逆傅氏变换．应用延迟定

理和积分定理得到

这正是前面学过的的达朗贝尔公式.

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为了说明傅氏变换法解非齐次方程特别简便，

我们特举一强迫弦振动问题：

求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题

【解】

根据与例13.1.1相同的方法，作傅氏变换

例13.1.2

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我们容易得到原定解问题可变换为下列常微分方程的问题

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上述问题的解为

利用傅氏变换的性质有

故得到

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代入得到

即得

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13.1.2热传导问题

例13.1.3求解无限长细杆的热传导（无热源）问题

【解】作傅氏变换，

定解问题变换为

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常微分方程的初值问题的解是

再进行逆傅里叶变换，

交换积分次序

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引用积分公式

且令

以便利用积分公式，即得到

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例13.1.4求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题

【解】

利用

对定解问题作傅氏变换，得到常微分方程的定解问题

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上述问题的解为

为了求出上式的逆变换，利用下面傅氏变换的卷积公式，即

若

则

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而积分

即为

最后得到定解问题的解为

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13.1.3稳定场问题

我们先给出求半平面内

拉普拉斯方程的第一

边值问题的傅氏变换

系统解法

例13.1.5定解问题

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【解】对于变量

作傅氏变换，有

定解问题变换为常微分方程

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因为

可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为

因为

，故得到

常微分方程的解为

设

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根据傅氏变换定义，

的傅氏逆变换为

再利用卷积公式

最后得到原定解问题的解为

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13.2拉普拉斯变换解数学物理定解问题

由