线性目标函数问题.docxVIP

课题线性规划

一、基础知识

1、若点2,t在直线2x3y60的下方地域，则实数t的取值范围是

2、图中的平面地域（暗影部分）用不等式组表示为

xy≥2

3、已知实数x、y满足xy≤2，则z2xy的最大值是______．

0≤y≤3

x0

5、已知实数x,y满足不等式组y0，则x2y22x2y的最小值为

xy1

例题牢固

线性目标函数问题

当目标函数是线性关系式如zaxbyc（b0）时，可把目标函数变形

为

yaxzc，则zc可看作在在y轴上的截距，此后平移直线法是解决此

bbb

类问题的常用方法，经过比较目标函数与线性拘束条件直线的斜率来找寻最

优解.一般步骤以下：1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,依据斜率和

截距,求出最优解.

xy,x2y,

8、设z

y,x2y,

若－2≤x≤2，－2≤y≤2，则z的最小值为▲

,非线性目标函数问题的解法

当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，此后根

据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近来几年来，在高考中出现了求目标

函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要观察的是等价转变思想和数形

结合思想,出题形式愈来愈灵巧,对考生的能力要求愈来愈高.常有的有以下

几种：

1．比值问题

当目标函数形如z

y

a时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(b,a)连线的

x

b

斜率，这样目标函数的最值就转变成PQ连线斜率的最值。

距离问题

当目标函数形如z(xa)2(yb)2时,可把z看作是动点P(x,y)与定点

Q(a,b)距离的平方，这样目标函数的最值就转变成PQ距离平方的最值。

3．截距问题

x+y0

例4不等式组xy0表示的平面地域面积为81，则x2y的最小值

xa

为_____

解析令zx2y，则此式变形为yx2z，z可看作是动

抛物线yx2z在y轴上的截距，当此抛物线与yx相切

时，z最小，故答案为

4．向量问题

1

4

0x2

已知平面直角坐标系xoy上的地域D由不等式组y2给定。若M(x,y)为

x2y

D上的动点，点A的坐标为2,1，则zOMOA的最大值为

线性表示

例1设等差数列{an}的前n项和为Sn，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的取

值范围是．

教师导言：（1）如何解的（预期回答：线性规化）？

（2）能否由两式直接“加工”而得？——线性表示更好：S6xa5y

a

，简记：③①×x

②×y．

6

x，y满足3≤xy2≤8，4≤x2

3

（3）（类比）设实数

≤9，则x

4

的最大值

y

y

是

．

4

（4）会求x5的取值范围吗？（简记：③①x②y，取对数，两类问题

y

相同！）

检测：设等差数列{an

的前

n

项和为

n，若1≤a≤4，2≤a≤3，则a

}

S

5

6

7

的取值范围是

．（对某学校抽24人，有9人不对，另一校抽39人，

人不对）．

三，线性变换问题

例6在平面直角坐标系xOy中，已知平面地域A＝{（x，y）|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面地域B＝{（x＋y，x－y）|（x，y）∈A}的面积

为

.

解析令

x

＋

＝，

－

＝

，则＝u＋v

，

＝u－v.

y

ux

y

v

x

2

y

2

由x＋y≤1，x≥0，y≥0得

u≤1，u＋v≥0，u－v≥0.

所以，平面地域B的图形如图.其面积为

1

S＝2×2×1＝1.

五，线性规划的逆向问题

2

4

例8

给出平面地域以以下列图.若当且仅当x＝3，y＝5

时，目标函数z＝ax－y取最小值，则实数a的取值范

围是

.

2

4

解析

当直线y＝ax－z（a＜0）过点（3，

5），且不与直线AC，BC重

合时,－z获得最大值，从而z获得最小值.

4

4

5

12

5－1

3

kAC＝2

＝－5，kBC＝

2

＝－10.

3－1

3

所以，实数a的取值范围是（－

12

3

5，－

10）.

x－y＋5≥0，

且z＝2x＋4y的最小值为－6，

8.

若，

y

满足不等式组

x≤3，

x

x＋y－k≥0，

则k的值为

________．

y≥，

13．不等式组

2x

y

≤，

a的取值范围是

2

表示的平面地域是一个三角形，则

y≥0，

x

y≤a

a≤1或a≥43

11．

x

2y

5

0

y

25}

浙江）设m为实数，若

(x,y)

3

x

0

{(x,y)|x

2

2

，则m的取值范围是

（2007

mx

y

0

_____________。

答案0≤m≤

12（2007

）．设会集

A{(x，y)|y≥|x

，

B{(x，y)|y≤

xb}

，

湖南

2|，x≥0}

AB，

（1）b的取值范围是；

（2）若(x，y)AB，且x2y的最大值为9，则b的值是．

答案

（1）[1，)（2）9

2

四，