第七章微积分的数值计算.pptVIP

第七章微积分的数值计算第1页，共33页，星期日，2025年，2月5日7.1数值微分实际问题常需计算函数的导数或积分值。但很多情况下，函数关系难以准确表示；即使能使用解析式准确表示，表示式却很复杂，不能用于实际计算。本章介绍数值计算导数或积分的实用方法。第2页，共33页，星期日，2025年，2月5日7.1.1差分和差商根据导数的定义其中，?x和?y分别称为自变量x和因变量y的增量，也称之为差分。可以用差分的商作微商（导数）的近似。数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值。自变量x的步长一般取定值。首先在xi处对函数进行泰勒展开，第3页，共33页，星期日，2025年，2月5日根据不同的组合方式可以得到精度不同的差分公式。以函数的一阶导数为例：微分公式表达式截断误差两点前向O(?x)两点后向O(?x)三点中心O(?x2)三点前向O(?x2)三点后向O(?x2)五点中心O(?x4)………………第4页，共33页，星期日，2025年，2月5日精度为O(?X2)的高阶中心差分算法精度为O(?X4)的高阶中心差分算法第5页，共33页，星期日，2025年，2月5日7.1.2数值微分的实现在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff和梯度函数gradient。diff调用格式为：Dy=diff(Y)：计算向量Y的向前差分，并把结果赋值给向量DyDy(i)=Y(i+1)-Y(i)，i=1,2,…,n-1。注意向量Dy元素个数比Y少Dy=diff(Y,n)：计算向量Y的n阶向前差分。例如，diff(Y,2)=diff(diff(Y))=DX(i+1)-DX(i)=Y(i+2)-2Y(i+1)+Y(i)，i=1,2……n-2。DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。第6页，共33页，星期日，2025年，2月5日A=pascal(4)A=1111123413610141020B=diff(A)B=0123013601410C=diff(A,2)C=00130014D=diff(A,1,1)D=0123013601410E=diff(A,1,2)E=0001112343610第7页，共33页，星期日，2025年，2月5日7.1.3近似梯度函数gradient的调用格式为[Fx,Fy]=gradient(F,hx,hy)求矩阵F，求其x(行)方向的数值梯度Fx和y(列)方向的数值梯度Fy，x方向步长全为hx，y方向步长全为hy。Fx相当于偏导数?F/?x,Fy相当于偏导数?F/?y。[Fx,Fy]=gradient(F,h)求矩阵F，求其x(行)方向的数值梯度Fx和y(列)方向的数值梯度Fy，各个方向步长全为h。Fx=gradient(F)如果F是向量，直接求其数值梯度；如果F是矩阵，求其x(行)方向的数值梯度，步长为1。[Fx,Fy]=gradient(F)求矩阵F，求其x(行)方向的数值梯度Fx和y(列)方向的数值梯度Fy，步长为1第8页，共33页，星期日，2025年，2月5日X=[13524];Y=gradient(X)Y=2.00002.0000-0.5000-0.50002.0000Y=gradie