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2025年浙江数学专升本考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)=2x^33x^2+1在x=1处的切线斜率为k，则k等于（）

A.6

B.3

C.0

D.3

答案：A

解析：求函数f(x)在x=1处的导数，即f(x)=6x^26x。将x=1代入导数公式，得f(1)=6。故切线斜率k=6。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+n，则该数列的通项公式为（）

A.an=4n3

B.an=4n2

C.an=3n2

D.an=3n+1

答案：C

解析：当n=1时，a1=S1=3。当n≥2时，an=SnSn1=(2n^2+n)[2(n1)^2+(n1)]=4n3。所以an=3n2。

3.设函数f(x)=x^2+kx+1在x=1处的极值为m，则k等于（）

A.4

B.2

C.0

D.2

答案：B

解析：求函数f(x)的导数f(x)=2x+k。令f(1)=0，得k=2。此时，f(1)=1^221+1=0，即极值m=0。

4.已知函数y=f(x)的图像关于原点对称，且f(x)=x^2+bx+c，则b等于（）

A.0

B.2

C.2

D.无法确定

答案：C

解析：由于函数关于原点对称，所以f(x)=f(x)。将f(x)=x^2+bx+c代入，得(x)^2bx+c=x^2bxc。化简得b=2。

5.若方程x^36x^2+11x6=0的三根依次为x1，x2，x3，则x1+x2+x3等于（）

A.6

B.3

C.2

D.0

答案：A

解析：由韦达定理，方程x^36x^2+11x6=0的三根之和等于系数6的相反数，即x1+x2+x3=(6)=6。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数y=x^33x在x=0处的导数是______。

答案：3

解析：求函数y=x^33x的导数y=3x^23。将x=0代入，得y(0)=3。

7.若数列{an}的前n项和为Sn=n^2n+1，则该数列的通项公式an=______。

答案：2n1

解析：当n=1时，a1=S1=1。当n≥2时，an=SnSn1=(n^2n+1)[(n1)^2(n1)+1]=2n1。所以an=2n1。

8.已知函数y=f(x)在x=1处取得极小值，且f(1)=0，f(1)=2，则f(1)=______。

答案：1

解析：由f(1)=0得f(x)在x=1处的导数为0。由f(1)=2得f(x)在x=1处的二阶导数为2，即函数在该点处的凹凸性向上。由于是极小值，所以f(1)=1。

9.若函数f(x)=x^22x+c在x=1处与直线y=2x+1相切，则c=______。

答案：0

解析：求函数f(x)在x=1处的导数f(x)=2x2。将x=1代入，得f(1)=0。又因为切点在直线上，所以f(1)=21+1=3。将x=1代入f(x)得f(1)=12+c=3，解得c=0。

10.已知函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x)，且f(0)=1，f(1)=1，则f(2)=______。

答案：1

解析：由于f(x)是以1为周期的函数，所以f(2)=f(1+1)=f(1)=1。但由于f(0)=1，所以f(2)=f(0)=1。

三、解答题（共50分）

11.（本题10分）已知函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的单调区间。

答案：f(x)在(∞,0]和[2,+∞)上单调递增，在[0,2]上单调递减。

解析：求f(x)的导数f(x)=3x^26x。令f(x)=0，解得x1=0，x2=2。当x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0。因此，f(x)在(∞,0]和[2,+∞)上单调递增，在[0,2]上单调递减。

12.（本题15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+n，求数列{an}的通项公式和前n项和的最大值。

答案：an=4n3；Smax=27。

解析：当n=1时，a1=S1=3。当n