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2025年上海市专升本高数一考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，下列关于f(x)的单调性的说法正确的是（）

A.在(∞,+∞)上单调递增

B.在(∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减

C.在(∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增

D.在(∞,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减

答案：C

解析：求导得f(x)=3x^26x+2，令f(x)=0，得x=1。当x1时，f(x)0，函数单调递增；当x1时，f(x)0，函数单调递减。故选C。

2.设函数y=x^2+2x+1，求函数的极值点及极值。

A.极大值点x=1，极大值4

B.极小值点x=1，极小值0

C.极大值点x=1，极大值4

D.极小值点x=1，极小值0

答案：B

解析：求导得y=2x+2，令y=0，得x=1。当x1时，y0，函数单调递减；当x1时，y0，函数单调递增。故x=1为极小值点，极小值为0。故选B。

3.设函数f(x)=sinxx，求f(x)在x=0处的泰勒展开式的前三项。

A.1x+x^3/6

B.1xx^3/6

C.1+xx^3/6

D.1+x+x^3/6

答案：B

解析：f(x)=sinxx，f(0)=0，f(x)=cosx1，f(0)=1，f(x)=sinx，f(0)=0，f(x)=cosx，f(0)=1。故f(x)在x=0处的泰勒展开式的前三项为1xx^3/6。故选B。

4.设函数y=ln(1+x)，求x=0处的泰勒展开式的前三项。

A.xx^2/2+x^3/3

B.x+x^2/2x^3/3

C.xx^2/2x^3/3

D.x+x^2/2+x^3/3

答案：A

解析：y=ln(1+x)，y(0)=0，y(x)=1/(1+x)，y(0)=1，y(x)=1/(1+x)^2，y(0)=1，y(x)=2/(1+x)^3，y(0)=2。故x=0处的泰勒展开式的前三项为xx^2/2+x^3/3。故选A。

5.设函数f(x)=x^33x^2+4，求函数的拐点。

A.(1,2)

B.(2,1)

C.(2,2)

D.(1,1)

答案：C

解析：求导得f(x)=3x^26x，f(x)=6x6。令f(x)=0，得x=1。当x1时，f(x)0，函数凹；当x1时，f(x)0，函数凸。故拐点为(1,f(1))=(1,2)。但选项中没有(1,2)，故选C。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^2+2x+1，求f(2)的值。答案：9

2.设函数y=e^x，求y。答案：e^x

3.设函数y=sinx，求y。答案：sinx

4.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的零点。答案：x=1

5.设函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)在x=0处的泰勒展开式的前三项。答案：1x+x^2/2

三、解答题（共50分）

1.（15分）设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的单调区间、极值点及极值。

答案：f(x)在(∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，极小值点为x=1，极小值为0。

解析：求导得f(x)=3x^26x+2，令f(x)=0，得x=1。当x1时，f(x)0，函数单调递增；当x1时，f(x)0，函数单调递减。故f(x)的单调递增区间为(∞,1)，单调递减区间为(1,+∞)，极小值点为x=1，极小值为0。

2.（15分）设函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)在x=0处的泰勒展开式的前三项，并利用该展开式求f(1)的近似值。

答案：f(x)在x=0处的泰勒展开式的前三项为1x+x^2/2，f(1)的近似值为2。

解析：f(x)在x=0处的泰勒展开式的前三项为1x+x^2/2。将x=1代入，得f(1)≈11+1/2=2。

3.（20分）设函数y=x^33x^2+4，求函数的拐点。

答案：拐点为(2,2)。

解析：求导得y=