三次样条插值.pptVIP

;三次样条插值;高次插值出现龙格现象;数学里的样条(Spline)一词来源于它的直观几何背景：绘图员或板金工人常用弹性木条或金属条加压铁(构成样条!)固定在样点上，在其它地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线.

样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点击样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。;

相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较

CubicSplineInterpolationLagrange

;定义2.8（三次样条函数）;提出问题：;构造方法：

S(x)应具有如下形式

并且满足条件(2.42)和

;分析：;;第3种边界条件（周期边界条件）：;这样，由以上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确定4n个系数。从而得到三次样条插值函数S(x)在各个子区间?xi,xi+1?上的表达式S(xi）(i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构造方法。;推导方法：;

------三次样条插值函数的二阶导数表示;由两点拉格朗日插值可表示为;;将上式代入(2.48)得到三次样条插值函数的表达式;2021/10/10;2021/10/10;（2.55）;所得方程可简写成;这是一个含有n+1个未知数、n-1个方程的线性方程组.要完全确定Mi(i=0,1,…,n)的值还需要补充两个

条件,这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插

值区间?a,b?的两个端点处的边界条件来补充。;由(2.53),得;2021/10/10;(2)若;(3)对第三类边界条件：;令;2021/10/10;说明：;例2.14设在节点上，函数的值为

，。试求三次样条插值函数，满足条件;对第一类边界条件;（２）仍用方程组进行求解，不过要注意的不同。由于和已知，故可以化简得;由此解得。;例2.15已知的函数值如下：

x1245

f(x)1342;根据给定数据和边界条件算出与;则得方程组;同理S(x)在上的表达式为;故所求的三次样条插值函数S(x)在区间

上的表达式为;下面构造一阶导数值表示的三次样条插值函数。在力学上解释为细梁在截面处的转角，并且得到的转角与相邻两个转角有关，故称用表示的算法为三转角算法。;根据Hermite插值函数的唯一性和表达式可设S(x)在区间[xi,xi+1](i=0,1,…n-1)的表达式为;对S(x)求二次导数得;利用条件，得;由此可解得m1,m2,…,mn-1，从而得S(x)的表达式.;①对于边界条件(2.44),可导出两个方程:;若令;由(2.62)和(2.67)可解出，方程组的矩阵形式为;谢谢大家！