2026高考数学一轮复习：复数（讲义）原卷+答案详解.docxVIP

2026高考数学一轮复习：复数（讲义）原卷+答案详解

一、复数的概念与表示法

1.复数的定义

复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i2=1。

2.复数的几何表示

在直角坐标系中，复数a+bi可以用点(a,b)表示，其中横坐标a为实部，纵坐标b为虚部。

3.复数的模与辐角

复数a+bi的模是|a+bi|=√(a2+b2)，表示复数在复平面上的距离原点的距离。

复数a+bi的辐角是arg(a+bi)，表示复数在复平面上的角度。

二、复数的运算

1.复数的加法

两个复数a+bi和c+di相加，得到(a+c)+(b+d)i。

2.复数的减法

两个复数a+bi和c+di相减，得到(ac)+(bd)i。

3.复数的乘法

两个复数a+bi和c+di相乘，得到(acbd)+(ad+bc)i。

4.复数的除法

两个复数a+bi和c+di相除，得到[(ac+bd)/(c2+d2)]+[(bcad)/(c2+d2)]i。

5.复数的共轭

复数a+bi的共轭是abi，满足(a+bi)(abi)=a2+b2。

三、复数的应用

1.解一元二次方程

对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当判别式Δ=b24ac0时，方程的解为x=[b±√(Δ)]/(2a)。

2.复数的应用举例

求解复平面上的几何问题，如两点间的距离、两直线或圆的交点等。

在电子学、信号处理等领域，利用复数表示交流电、频率响应等。

四、答案详解

1.复数的概念与表示法

例1：求复数3+4i的模与辐角。

解：模|3+4i|=√(32+42)=5，辐角arg(3+4i)=arctan(4/3)。

例2：已知复数z的模为2，辐角为π/4，求z的实部和虚部。

解：设z=a+bi，则a=2cos(π/4)=√2，b=2sin(π/4)=√2。

2.复数的运算

例1：计算(1+2i)+(34i)。

解：(1+2i)+(34i)=(1+3)+(24)i=42i。

例2：计算(2+3i)(1i)。

解：(2+3i)(1i)=(23)+(2+3)i=1+5i。

3.复数的应用

例1：求解方程x2+4x+5=0。

解：判别式Δ=42415=4，解为x=[4±√(4)]/(21)=2±i。

例2：求直线y=2x+1与圆(x1)2+(y+2)2=16的交点。

解：将直线方程代入圆的方程，得到(x1)2+(2x+3)2=16，解得x=1±√2i，代入直线方程得到交点坐标。