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2025年云南数学专升本考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x，则f(x)在区间（∞，+∞）内（）

A.有一个极值点

B.有两个极值点

C.有三个极值点

D.没有极值点

答案：B

解析：求导得f(x)=3x^23，令f(x)=0，解得x=1或x=1。将x=1和x=1分别代入f(x)，可得f(1)=60，f(1)=60，故f(x)在x=1处取得极大值，x=1处取得极小值。

2.若函数y=f(x)在x=a处可导，则下列等式正确的是（）

A.Δy=f(a)Δx

B.Δy=f(a)Δx

C.Δy=f(a+Δx)f(a)

D.Δy=f(a+Δx)Δx

答案：A

解析：由导数的定义可知，Δy=f(a)Δx+o(Δx)，当Δx趋近于0时，o(Δx)也趋近于0，所以Δy≈f(a)Δx。

3.设函数y=2x^3+3x^2+4，则该函数在x=0处的二阶导数为（）

A.0

B.2

C.6

D.12

答案：C

解析：求导得y=6x^2+6x，再求导得y=12x+6，将x=0代入y，得y(0)=6。

4.设直线L的斜率为k，过点P(1,2)，则直线L的方程为（）

A.y2=k(x1)

B.y2=k(x+1)

C.y+2=k(x1)

D.y+2=k(x+1)

答案：A

解析：直线方程的一般形式为yy1=k(xx1)，其中(x1,y1)为直线上的任意一点，本题中点P(1,2)在直线上，故直线方程为y2=k(x1)。

5.设平面图形D由曲线y=x^2和直线x=1围成，则图形D的面积S为（）

A.1/3

B.1/2

C.1

D.2

答案：C

解析：图形D的面积S=∫(0,1)x^2dx=(1/3)x^3|(0,1)=1/3。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数y=x^33x+2的极值点为______。

答案：x=1,x=1

7.函数y=e^x在x=0处的切线方程为______。

答案：y=x+1

8.设函数f(x)=x^2+kx+1，若f(x)在x=1处取得极值，则k=______。

答案：2

9.过点P(2,3)且斜率为2的直线方程为______。

答案：y3=2(x2)

10.二项式展开式(1+x)^6的通项公式为______。

答案：T_{r+1}=C(6,r)x^r

三、解答题（每题25分，共75分）

11.求函数f(x)=x^33x^2+4x1的单调区间和极值。

答案：f(x)=3x^26x+4，令f(x)=0，解得x=1或x=2/3。f(x)在x=1处由正变负，故f(x)在x=1处取得极大值；f(x)在x=2/3处由负变正，故f(x)在x=2/3处取得极小值。单调递增区间为(∞,2/3)和(1,+∞)，单调递减区间为(2/3,1)。

12.设函数f(x)=x^2+kx+1，求k的取值范围，使得f(x)在x=1处取得极值。

答案：f(x)=2x+k，令f(1)=0，解得k=2。k的取值范围为k=2。

13.求由曲线y=x^3和直线x+y=2所围成的平面图形的面积。

答案：由方程组x+y=2和y=x^3得x^3+x2=0，解得x=1或x=1。图形的面积S=∫(1,1)(2x^3x)dx=(7/4)。