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2025年专升本河南省高数二考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)在x=0处的极值是（）

A.0

B.1

C.1

D.3

答案：C

解析：首先求导数f(x)=3x^23。令f(x)=0，得x=±1。再求二阶导数f(x)=6x，可得f(0)=0，f(1)=6，f(1)=6。由极值的判定定理，f(x)在x=0处取得极大值，f(0)=1。但题目要求极值，所以应选C。

2.函数y=x^2e^x在x=0处的切线方程是（）

A.y=0

B.y=x

C.y=2x

D.y=x+1

答案：B

解析：求导数y=2xe^x+x^2e^x。将x=0代入y和y，得y(0)=0，y(0)=0。所以切线方程为yy(0)=y(0)(x0)，即y=x。

3.设函数y=ln(x+1)，求y(0)的值是（）

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：C

解析：求一阶导数y=1/(x+1)，再求二阶导数y=1/(x+1)^2。将x=0代入y，得y(0)=1。

4.设函数y=sin(x)x，求y(π)的值是（）

A.0

B.1

C.1

D.2

答案：C

解析：求导数y=cos(x)1。将x=π代入y，得y(π)=cos(π)1=1。

5.定积分∫(0toπ)sin(x)dx的值是（）

A.2

B.0

C.1

D.1

答案：C

解析：求原函数F(x)=cos(x)。将上限π和下限0代入F(x)，得∫(0toπ)sin(x)dx=F(π)F(0)=cos(π)(cos(0))=1+1=2。此处答案应为2，但题目选项中没有2，所以选C。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数f(x)=x^22x+1在x=1处的切线斜率是______。

答案：0

解析：求导数f(x)=2x2，将x=1代入得f(1)=0。

2.定积分∫(0to1)x^2dx的值是______。

答案：1/3

解析：求原函数F(x)=x^3/3，将上限1和下限0代入F(x)，得∫(0to1)x^2dx=F(1)F(0)=1/30=1/3。

3.函数y=e^x在x=0处的导数是______。

答案：1

解析：求导数y=e^x，将x=0代入得y(0)=1。

4.函数y=x^33x+1在x=1处的极值是______。

答案：1

解析：求导数f(x)=3x^23，令f(x)=0得x=±1。再求二阶导数f(x)=6x，可得f(1)=6，f(1)=6。由极值的判定定理，f(x)在x=1处取得极小值，f(1)=1^331+1=1。

5.定积分∫(0toπ)cos(x)dx的值是______。

答案：0

解析：求原函数F(x)=sin(x)，将上限π和下限0代入F(x)，得∫(0toπ)cos(x)dx=F(π)F(0)=sin(π)sin(0)=00=0。

三、解答题（共50分）

1.（15分）设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的单调区间和极值。

答案：

单调递增区间：(1,2)，单调递减区间：(∞,1)和(2,+∞)；

极小值：f(1)=2，极大值：f(2)=4。

解析：求导数f(x)=3x^26x。令f(x)=0得x=0和x=2。再求二阶导数f(x)=6x6。当x0时，f(x)0，f(x)单调递减；当0x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当x2时，f(x)0，f(x)单调递增。故f(x)的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为(∞,1)和(2,+∞)。计算f(1)和f(2)得极值。

2.（15分）计算定积分∫(0toπ)|sin(x)|dx。

答案：2

解析：将区间(0,π)分成(0,π/2)和(π/2,π)两个部分。在(0,π/2)区间，sin(x)≥0，所以∫(0toπ/2)sin(x)dx；在(π/2,π)区间，sin(x)≤0，所以∫(π/2toπ)(sin(x))dx。计算两个积分的和得2。

3.（20分）求函数f(x)=x^36x^2+9x+1在