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初中数学专题辅导教案及习题详解

一、教学目标

1.知识与技能：学生能够准确理解并叙述三角形全等的几个基本判定公理（SSS,SAS,ASA,AAS）和直角三角形全等的特殊判定方法（HL）。能够运用这些判定方法，结合已知条件，判断两个三角形是否全等，并能规范地书写证明过程。

2.过程与方法：通过对具体问题的分析、探究和证明，培养学生的逻辑推理能力、空间想象能力以及运用所学知识解决实际问题的能力。引导学生体会“观察—猜想—验证—归纳”的数学思想方法。

3.情感态度与价值观：通过三角形全等判定的学习，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生对数学学习的兴趣。在合作与交流中，培养学生的团队协作精神和表达能力。

二、教学重点与难点

1.教学重点：三角形全等的判定公理（SSS,SAS,ASA,AAS）及其应用。

2.教学难点：

*准确理解各判定公理的条件，并能在复杂图形中快速识别出符合判定条件的对应元素（边、角）。

*辅助线的添加，特别是在一些不明显直接应用判定公理的题目中。

*证明思路的形成与规范表达。

三、教学方法

讲授法、讨论法、启发式教学法、例题分析法、练习巩固法。

四、教学准备

多媒体课件（可选，用于展示图形和例题）、直尺、圆规、三角板。

五、教学过程

(一)复习引入(约5分钟)

1.回顾旧知：

*什么是全等三角形？（能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形）

*全等三角形有哪些性质？（对应边相等，对应角相等）

2.提出问题：

*我们知道，如果两个三角形全等，那么它们的对应边和对应角都相等。反过来，如果两个三角形的所有对应边和对应角都相等，那么这两个三角形一定全等。但是，判定两个三角形全等，是否一定需要验证所有的边和角都对应相等呢？能不能找到一些更简便的方法？

*（引导学生思考：最少需要几个条件？一个条件？两个条件？三个条件？）

(二)新知探究(约20分钟)

1.探究“SSS”判定公理：

*活动：让学生每人用直尺和圆规画一个三角形，使它的三边分别为给定的长度（例如：3cm,4cm,5cm）。画好后，与同桌或小组内其他同学的三角形进行比较，看能否完全重合。

*观察与归纳：同学们发现，只要三边的长度对应相等，画出的三角形形状和大小就完全一样，能够重合。

*总结：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。

*强调：这个公理告诉我们，三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就唯一确定了，这也是三角形具有稳定性的原因。

2.探究“SAS”判定公理：

*问题：如果已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两个三角形全等吗？

*引导：这个角的位置很重要。是两条边的夹角，还是其中一条边的对角？

*活动与演示：

*情况一（夹角）：画一个三角形，使它的两条边分别为3cm和4cm，这两条边的夹角为60度。与同伴比较，看是否全等。（发现全等）

*情况二（对角）：画一个三角形，使它的两条边分别为3cm和4cm，其中4cm边所对的角为30度。（教师可演示或引导学生发现，此时可能画出不止一种形状的三角形，即“SSA”不能判定全等）

*总结：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。

*强调：必须是“夹角”，“SSA”不能作为判定三角形全等的依据。

3.探究“ASA”与“AAS”判定公理：

*问题：如果已知一个三角形的两个角和一条边，情况又如何呢？

*活动与归纳：

*“ASA”：画一个三角形，使它的两个角分别为60度和45度，这两个角的夹边为4cm。与同伴比较，发现全等。

*总结：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。

*“AAS”：思考，如果已知两个角和其中一个角的对边对应相等，能否判定两个三角形全等？

*推导：因为三角形内角和为180度，如果两个角对应相等，那么第三个角也必然对应相等。这样，就可以转化为“ASA”的情况。

*总结：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。

4.直角三角形的“HL”判定：

*引入：对于直角三角形，我们有其特殊性。直角三角形有一个角是直角（90度）。如果我们已知两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？

*讲解与总结：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

*强调：

*“HL”只适用于直角三角形。

*书写格式上，要先说明两个三角形是直角三角形（Rt△