课时作业：4 第4课时 黄金分割.docxVIP

第四章4第4课时黄金分割

一、选择题

1．已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，且AC＞BC，则下列说法错误的是()

A．如果eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，那么线段AB被点C黄金分割

B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割

C．如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比

D．0.618是黄金比的近似值

2．若点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，则下列说法正确的有()

①AB＝eq\f(\r(5)＋1,2)AC；②AC＝eq\f(3－\r(5),2)AB；

③AB∶AC＝AC∶BC；④AC≈0.618AB.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

3．相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫做黄金矩形，从外形上看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长边的长等于10厘米，那么与它相邻的边的长等于________厘米．(结果保留根号)

4．已知点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，若AB＝2，则AP－BP＝________．

三、解答题

5．如图1，已知点C和点D均为线段AB的黄金分割点，CD＝6cm，求AB的长．

图1

6．在人体躯干上，肚脐是理想的黄金分割点，即脚底到肚脐的长度与身高的比值越接近0.618越给人以美感．小华妈妈的脚底到肚脐的长度与身高的比值为0.60，她的身高为1.60m，她应选择穿多高的高跟鞋看起来才会更美？(结果精确到0.1cm)

探索存在题如图2，在△ABC中，点D在边AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2.

(1)求∠B的度数．

(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比eq\f(\r(5)－1,2).

①写出图中所有的黄金三角形，并选一个说明理由．

②求AD的长．

③在直线AB或BC上是否存在点P(不与点A，B重合)，使△PDC是黄金三角形？若存在，请画出点P，并简要说明画出点P的方法(不要求证明)；若不存在，请说明理由.

图2

详解详析

[课堂达标]

1．[解析]C根据黄金分割的定义可知A，B，D正确；如果线段AB被点C黄金分割(AC＞BC)，那么AC与AB的比叫做黄金比，所以C错误．故选C.

2．[解析]Ceq\f(AB,AC)＝eq\f(2,\r(5)－1)＝eq\f(2（\r(5)＋1）,4)＝eq\f(\r(5)＋1,2)，∴AB＝eq\f(\r(5)＋1,2)AC，①正确；AC＝eq\f(\r(5)－1,2)AB，②错误；AB∶AC＝AC∶BC，③正确；AC＝eq\f(\r(5)－1,2)AB≈0.618AB，④正确．

3．[答案](5eq\r(5)－5)

[解析]设与它相邻的边的长为x厘米，由题意，得eq\f(x,10)＝eq\f(\r(5)－1,2)，解得x＝5eq\r(5)－5.故答案为(5eq\r(5)－5)．

4．[答案]2eq\r(5)－4

[解析]∵点P是线段AB的黄金分割点，APBP，∴AP＝eq\f(\r(5)－1,2)AB＝eq\r(5)－1，

则BP＝2－AP＝3－eq\r(5)，

∴AP－BP＝(eq\r(5)－1)－(3－eq\r(5))＝2eq\r(5)－4.

故答案为2eq\r(5)－4.

5．解：∵点C和点D均为线段AB的黄金分割点，

∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(BC,AB)，∴AD＝BC，

∴AB－AD＝AB－BC，即BD＝AC.

设AC＝BD＝xcm，则AD＝(x＋6)cm，AB＝(2x＋6)cm.∵eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴eq\f(x＋6,2x＋6)＝eq\f(\r(5)－1,2)，

解得x＝3eq\r(5)＋3，

经检验，x＝3eq\r(5)＋3是上述方程的解．

∴AB＝(6eq\r(5)＋12)cm.

6．解：设小华妈妈的脚底到肚脐的距离为xm，由题意，得

eq\f(x,1.60)＝0.60，解得x＝0.96.

设她穿上ym的高跟鞋看起来才会更美，则

eq\f(y＋0.96,1.60＋y)＝0.618，解得y≈0.075.

经检验，y≈0.075是原方程的解．

0．075m＝7.5cm.

所以她应选择穿约7.5cm高的高跟鞋看起来才会更美．

[素养提升]

解：(1)∵DB＝DC＝AC，∴∠B＝∠DCB，∠CDA＝∠A.

设∠B＝x，则∠DCB＝x，∠CDA＝∠A＝2x.

∵∠ACE＝108°，∴∠B＋∠A＝108°，

即x＋2x＝108°，

∴x＝36°，∴∠B