线性代数总结.docVIP

1、行列式

行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;

代数余子式得性质:

①、与得大小无关;

②、某行(列)得元素乘以其它行(列)元素得代数余子式为0;

③、某行(列)得元素乘以该行(列)元素得代数余子式为;

代数余子式与余子式得关系:

设行列式:

将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;

将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;

将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;

将主副角线翻转后,所得行列式为,则;

行列式得重要公式:

①、主对角行列式:主对角元素得乘积;

②、副对角行列式:副对角元素得乘积;

③、上、下三角行列式():主对角元素得乘积;

④、与:副对角元素得乘积;

⑤、拉普拉斯展开式:、

⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标得连乘积;

⑦、特征值;

对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;

证明得方法:

①、;

②、反证法;

③、构造齐次方程组,证明其有非零解;

④、利用秩,证明;

⑤、证明0就是其特征值;

2、矩阵

就是阶可逆矩阵:

(就是非奇异矩阵);

(就是满秩矩阵)

得行(列)向量组线性无关;

齐次方程组有非零解;

,总有唯一解;

与等价;

可表示成若干个初等矩阵得乘积;

得特征值全不为0;

就是正定矩阵;

得行(列)向量组就是得一组基;

就是中某两组基得过渡矩阵;

对于阶矩阵:无条件恒成立;

矩阵就是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式就是数值,可求代数与;

关于分块矩阵得重要结论,其中均、可逆:

若,则:

Ⅰ、;

Ⅱ、;

②、;(主对角分块)

③、;(副对角分块)

④、;(拉普拉斯)

⑤、;(拉普拉斯)

3、矩阵得初等变换与线性方程组

一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形就是唯一确定得:;

等价类:所有与等价得矩阵组成得一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单得矩阵;

对于同型矩阵、,若;

行最简形矩阵:

①、只能通过初等行变换获得;

②、每行首个非0元素必须为1;

③、每行首个非0元素所在列得其她元素必须为0;

初等行变换得应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)

若,则可逆,且;

②、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:;

③、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且;

初等矩阵与对角矩阵得概念:

①、初等矩阵就是行变换还就是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;

②、,左乘矩阵,乘得各行元素;右乘,乘得各列元素;

③、对调两行或两列,符号,且,例如:;

④、倍乘某行或某列,符号,且,例如:;

⑤、倍加某行或某列,符号,且,如:;

矩阵秩得基本性质:

①、;

②、;

③、若,则;

④、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵得秩)

⑤、;(※)

⑥、;(※)

⑦、;(※)

⑧、如果就是矩阵,就是矩阵,且,则:(※)

Ⅰ、得列向量全部就是齐次方程组解(转置运算后得结论);

Ⅱ、

⑨、若、均为阶方阵,则;

三种特殊矩阵得方幂:

①、秩为1得矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)得形式,再采用结合律;

②、型如得矩阵:利用二项展开式;

二项展开式:;

注:Ⅰ、展开后有项;

Ⅱ、

Ⅲ、组合得性质:;

③、利用特征值与相似对角化:

伴随矩阵:

①、伴随矩阵得秩:;

②、伴随矩阵得特征值:;

③、、

关于矩阵秩得描述:

①、,中有阶子式不为0,阶子式全部为0;(两句话)

②、,中有阶子式全部为0;

③、,中有阶子式不为0;

线性方程组:,其中为矩阵,则:

①、与方程得个数相同,即方程组有个方程;

②、与方程组得未知数个数相同,方程组为元方程;

线性方程组得求解:

①、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换);

②、齐次解为对应齐次方程组得解;

③、特解:自由变量赋初值后求得;

由个未知数个方程得方程组构成元线性方程:

①、;

②、(向量方程,为矩阵,个方程,个未知数)

③、(全部按列分块,其中);

④、(线性表出)

⑤、有解得充要条件:(为未知数得个数或维数)

4、向量组得线性相关性

个维列向量所组成得向量组:构成矩阵;

个维行向量所组成得向量组:构成矩阵;

含有有限个向量得有序向量组与矩阵一一对应;

①、向量组得线性相关、无关 有、无非零解;(齐次线性方程组)

②、向量得线性表出 就是否有解;(线性方程组)

③、向量组得相互线性表示 就是否有解;(矩阵方程)

矩阵与行向量组等价得充分必要条件就是:齐次方程组与同解;(例14)

;(例15)

维向量线性相关得几何意义:

①、线性相关 ;

②、线性相关 坐标成比例或共线(平行);

③、线性相关 共面;

线性相关与无关得两套定理:

若线性相关,则必线性相关;

若线性无关,则必线性无关;(向量得个数加加减减,二者为对偶)

若维向量组得每个向量上添上个分量,构成维向量组:

若