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2025年重庆市（专升本）高数二考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)在区间（∞，+∞）内的极值点为（）

A.1

B.0

C.1

D.2

参考答案：C

解析：求导f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=±1。分别求出f(x)=6x，f(1)=60，所以x=1为极小值点；f(1)=60，所以x=1为极大值点。

2.设函数y=ln(x^2+1)，求y的导数y为（）

A.2x/(x^2+1)

B.2x/(x^21)

C.x/(x^2+1)

D.x/(x^21)

参考答案：A

解析：利用链式法则，y=(ln(x^2+1))=1/(x^2+1)(x^2+1)=2x/(x^2+1)。

3.设函数y=e^(2x)sin(x)，求y的二阶导数y为（）

A.2e^(2x)sin(x)+e^(2x)cos(x)

B.2e^(2x)sin(x)e^(2x)cos(x)

C.4e^(2x)sin(x)+2e^(2x)cos(x)

D.4e^(2x)sin(x)2e^(2x)cos(x)

参考答案：D

解析：利用乘积法则和链式法则，y=e^(2x)sin(x)+sin(x)e^(2x)=2e^(2x)sin(x)+e^(2x)cos(x)，y=(2e^(2x)sin(x)+e^(2x)cos(x))=4e^(2x)sin(x)2e^(2x)cos(x)。

4.设函数y=arctan(x)，求y的导数y为（）

A.1/(1+x^2)

B.1/(1x^2)

C.x/(1+x^2)

D.x/(1x^2)

参考答案：A

解析：利用反三角函数的导数公式，y=(arctan(x))=1/(1+x^2)。

5.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的极值点（）

A.0

B.1

C.2

D.3

参考答案：B

解析：求导f(x)=2xe^x+x^2e^x=xe^x(2+x)，令f(x)=0，得x=0或x=2。分别求出f(x)=(2+x)e^x+2xe^x+x^2e^x，f(0)=20，所以x=0为极小值点；f(2)=2e^(2)0，所以x=2为极大值点。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数y=x^33x^2+2x+1，求y的拐点坐标为______。

参考答案：(1,1)

解析：求导y=3x^26x+2，y=6x6。令y=0，得x=1。求出y(1)=1，所以拐点坐标为(1,1)。

2.设函数y=e^x(x1)，求y的极值点为______。

参考答案：x=1

解析：求导y=e^x(x1)+e^x=xe^x，令y=0，得x=0。求出y(0)=1，所以极小值点为(0,1)。

3.设函数y=ln(x+1)，求y的导数y为______。

参考答案：1/(x+1)

解析：利用链式法则，y=(ln(x+1))=1/(x+1)(x+1)=1/(x+1)。

4.设函数y=sin(x^2)，求y的导数y为______。

参考答案：2xsin(x^2)

解析：利用链式法则，y=(sin(x^2))=cos(x^2)(x^2)=2xsin(x^2)。

5.设函数y=x^2ln(x)，求y的二阶导数y为______。

参考答案：2ln(x)+4/x

解析：求导y=2xln(x)+x，y=(2xln(x)+x)=2ln(x)+2+1=2ln(x)+4/x。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，证明：f(x)在区间（∞，+∞）内有两个实根。

证明：

首先求导f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=±1。分别求出f(x)=6x，f(1)=60，所以x=1为极小值点；f(1)=60，所以x=1为极大值点。

因为f(1)=1，f(1)=1，所以f(x)在（∞，1）内单调递减，在（1，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减。

又因为f(1)0，f(1)0，f