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近世代数考研题库及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.设\(G\)是群，\(a,b\inG\)，则\((ab)^{-1}=\)（）

A.\(a^{-1}b^{-1}\)B.\(b^{-1}a^{-1}\)C.\(a^{-1}b\)D.\(ba^{-1}\)

答案：B

解析：根据群中元素逆元的性质，\((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)。

2.整数加群\(Z\)的生成元是（）

A.\(1\)B.\(-1\)C.\(1\)和\(-1\)D.以上都不对

答案：C

解析：整数加群\(Z\)中，任何整数都可以由\(1\)或\(-1\)通过加法运算得到，所以\(1\)和\(-1\)是生成元。

3.设\(R\)是环，\(a,b\inR\)，则\((a-b)^2=\)（）

A.\(a^2-b^2\)B.\(a^2-2ab+b^2\)C.\(a^2+2ab+b^2\)D.\(a^2+b^2\)

答案：B

解析：根据环中乘法对加法的分配律展开\((a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2\)。

4.剩余类环\(Z_6\)的子环有（）个

A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(5\)

答案：C

解析：\(Z_6\)的子环有\(\{0\}\)，\(\{0,3\}\)，\(\{0,2,4\}\)，\(Z_6\)本身，共\(4\)个。

5.置换\(\sigma=\begin{pmatrix}1234\\2341\end{pmatrix}\)的阶是（）

A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(5\)

答案：C

解析：\(\sigma^4=\begin{pmatrix}1234\\1234\end{pmatrix}\)，所以\(\sigma\)的阶是\(4\)。

6.设\(G\)是有限群，\(H\)是\(G\)的子群，则\([G:H]=\)（）

A.\(\frac{|G|}{|H|}\)B.\(|G|\times|H|\)C.\(|G|-|H|\)D.\(|G|+|H|\)

答案：A

解析：这是有限群中子群指数的定义。

7.域\(F\)上的多项式环\(F[x]\)中，\(x^2+1\)在\(F[x]\)中可约的充要条件是（）

A.\(F\)的特征为\(2\)B.\(F\)的特征不为\(2\)C.\(F\)的特征为\(0\)D.以上都不对

答案：A

解析：当\(F\)特征为\(2\)时，\(x^2+1=x^2-1=(x+1)^2\)可约。

8.设\(R\)是整环，\(a,b\inR\)，若\(ab=0\)，则（）

A.\(a=0\)B.\(b=0\)C.\(a=0\)或\(b=0\)D.\(a\neq0\)且\(b\neq0\)

答案：C

解析：整环中无零因子，所以\(ab=0\)时，\(a=0\)或\(b=0\)。

9.设\(G\)是群，\(a\inG\)，\(|a|=n\)，则\(a^m=e\)的充要条件是（）

A.\(m=n\)B.\(m\midn\)C.\(n\midm\)D.\(m\)与\(n\)互素

答案：C

解析：由群中元素阶的性质，\(a^m=e\)当且仅当\(n\midm\)。

10.环\(R\)中可逆元的全体关于乘法构成的群称为\(R\)的单位群，记为\(U(R)\)，则\(U(Z_{10})=\)（）

A.\(\{1,3,7,9\}\)B.\(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)C.\(\{1,5,9\}\)D.\(\{1,9\}\)

答案：A

解析：\(Z_{10}\)中与\(10\)互素的元素为\(1,3,7,9\)，它们构成\(U(Z_{10})\)。

二、多项选择题（每题2分，共10题）

1.以下关于群的说法正确的是（）

A.群中单位元唯一B.群中每个元素的逆元唯一C.群的运算满足结合律D.有限群的阶一定是正整数

答案：ABCD

解析：群的定义包含这些性质。

2.设\(G\)是群，\(a,b\inG\)，则下列等式成立的是（）

A.\((a^{-1})^{-1}=a\)B.\((ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\)C.\(a^ma^n=a^{m+