高中数学真题精编基础精选-06函数与导数(70题)—教师版.docxVIP

函数与导数

一、单选题

1．（2008·海南）已知，若，则等于（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的运算求导函数，由解方程，即可求得的值.

【解析】，

因为，所以，

解得.

故选：B.

2．（2006·天津）函数的定义域为开区间，导函数f′x在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】由导函数的图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解.

【解析】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，，

在处的两边左正、右负，取得极大值；

在处的两边左负、右正，取值极小值；

在处的两边都为正，没有极值；

在处的两边左正、右负，取值极大值．

因此函数在开区间内的极小值点只有一个．

故选：A．

3．（2024·全国）设函数，则曲线y=fx在点0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.

【解析】，

则，

即该切线方程为，即，

令，则，令，则，

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.

故选：A.

4．（2004·浙江）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（????）

??

A．?? B．?? C．?? D．??

【答案】C

【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可.

【解析】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，只有选项C符合，

故选：C

5．（2023·北京）已知数列满足，则（????）

A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立

B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立

C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立

D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立

【答案】B

【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.

法2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性；对于A，构造，判断得，进而取推得不恒成立；对于B，证明所在区间同时证得后续结论；对于C，记，取推得不恒成立；对于D，构造，判断得，进而取推得不恒成立.

【解析】法1：因为，故，

对于A，若，可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立，

由数学归纳法可得成立.

而，

，，故，故，

故为减数列，注意

故，结合，

所以，故，故，

若存在常数，使得恒成立，则，

故，故，故恒成立仅对部分成立，

故A不成立.

对于B，若可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立即

由数学归纳法可得成立.

而，

，，故，故，故为增数列，

若，则恒成立，故B正确.

对于C，当时，可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立即

由数学归纳法可得成立.

而，故，故为减数列，

又，结合可得：，所以，

若，若存在常数，使得恒成立，

则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误.

对于D，当时，可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立

由数学归纳法可得成立.

而，故，故为增数列，

又，结合可得：，所以，

若存在常数，使得恒成立，则，

故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误.

故选：B.

法2：因为，

令，则，

令f′x0，得或

令f′x0

所以在和上单调递增，在上单调递减，

令，则，即，解得或或，

注意到，，

所以结合的单调性可知在和上，在和上，

对于A，因为，则，

当时，，，则，

假设当时，，

当时，，则，

综上：，即，

因为在上，所以，则为递减数列，

因为，

令，则，

因为开口向上，对称轴为，

所以在上单调递减，故，

所以?x在上单调递增，故，

故，即，

假设存在常数，使得恒成立，

取，其中，且，

因为，所以，

上式相加得，，

则，与恒成立矛盾，故A错误；

对于B，因为，

当时，，，

假设当时，，

当时，因为，所以，则，

所以，

又当时，，即，

假设当时，，

当时，因为，所以，则，

所以，

综上：，

因为在上，所以，所以为递增数列，

此时，取，满足题意，故B正确；

对于C，因为，则，

注意到当时，，，

猜想当时，，

当与时，与满足，

假设当时，，

当时，所以，

综上：，

易知，则，故，

所以，

因为在上，所以，则为递减数列，

假设存在常数，使得恒成立，

记，取，其中，

则，

故，所以，即，

所以，故不恒成立，故C错误；

对于D，因为，

当时