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极限题库及答案解析

一、单项选择题

1.当x趋向于2时，函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)的极限是：

A.0

B.2

C.4

D.不存在

答案：C

解析：f(x)可以简化为f(x)=x+2，当x趋向于2时，f(x)趋向于4。

2.函数f(x)=sin(x)/x，当x趋向于0时的极限是：

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

答案：B

解析：根据极限的基本性质，当x趋向于0时，sin(x)/x趋向于1。

3.函数f(x)=e^x-1/x，当x趋向于0时的极限是：

A.0

B.1

C.e

D.不存在

答案：B

解析：根据洛必达法则，f(x)的极限等于e^x在x=0时的导数，即1。

4.函数f(x)=(1-cos(x))/x^2，当x趋向于0时的极限是：

A.0

B.1/2

C.1

D.不存在

答案：B

解析：根据等价无穷小的性质，1-cos(x)等价于x^2/2，因此极限为1/2。

5.函数f(x)=x^3-x/x^2，当x趋向于无穷大时的极限是：

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

答案：A

解析：分子分母同时除以x^2，极限为x-1/x，当x趋向于无穷大时，极限为0。

6.函数f(x)=log(x)/x，当x趋向于无穷大时的极限是：

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

答案：A

解析：根据对数函数的性质，log(x)增长速度慢于x，因此极限为0。

7.函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)，当x趋向于1时的极限是：

A.0

B.1

C.2

D.不存在

答案：C

解析：f(x)可以简化为f(x)=x+1，当x趋向于1时，f(x)趋向于2。

8.函数f(x)=(sin(x)-x)/x^3，当x趋向于0时的极限是：

A.0

B.1/6

C.-1/6

D.不存在

答案：C

解析：根据洛必达法则，极限等于-sin(x)/3x^2在x=0时的值，即-1/6。

9.函数f(x)=(e^x-1)/(x-1)，当x趋向于1时的极限是：

A.0

B.1

C.e

D.不存在

答案：B

解析：根据洛必达法则，极限等于e^x在x=1时的值，即e。

10.函数f(x)=(1/x)-(1/x^2)，当x趋向于0时的极限是：

A.0

B.-1

C.1

D.不存在

答案：B

解析：根据极限的基本性质，(1/x)趋向于无穷大，(1/x^2)趋向于无穷大，但后者增长更快，因此极限为-1。

二、多项选择题

1.下列函数中，当x趋向于0时，极限存在的有：

A.sin(x)/x

B.cos(x)/x

C.e^x-1/x

D.(1-cos(x))/x^2

答案：A,C,D

解析：cos(x)/x的极限不存在。

2.下列函数中，当x趋向于无穷大时，极限为0的有：

A.log(x)/x

B.x^2/x^3

C.e^x/x^2

D.(x^2-1)/x

答案：A,B

解析：e^x/x^2和(x^2-1)/x的极限不为0。

3.下列函数中，当x趋向于1时，极限存在的有：

A.(x^2-1)/(x-1)

B.(sin(x)-x)/(x-1)

C.(e^x-1)/(x-1)

D.(1-cos(x))/(x-1)

答案：A,C

解析：(sin(x)-x)/(x-1)和(1-cos(x))/(x-1)的极限不存在。

4.下列函数中，当x趋向于0时，极限为1的有：

A.(1+x)^1/x

B.e^x/x

C.(sin(x)/x)*(x/sin(x))

D.(e^x-1)/x

答案：A,D

解析：e^x/x的极限不为1。

5.下列函数中，当x趋向于无穷大时，极限存在的有：

A.x/log(x)

B.log(x)/x^2

C.e^x/x

D.x^2/e^x

答案：B,D

解析：x/log(x)和e^x/x的极限不存在。

三、判断题

1.函数f(x)=x^2在x趋向于无穷大时的极限是无穷大。

答案：正确

2.函数f(x)=1/x在x趋向于0时的极限是无穷大。

答案：正确

3.函数f(x)=sin(x)/x在x趋向于0时的极限是1。

答案：正确

4.函数f(x)=e^x在x趋向于负无穷大时的极限是0。

答案：正确

5.函数f(x)=l