2025年三角形的证明重点题型-提高.pdfVIP

志不强者智不达，言不信者行不果。——墨翟

《三角形的证明》全章复习与巩固(提高)

【知识网络】

类型一、能证明它们么

1.如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点

F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．

百学须先立志。——朱熹

【变式】将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，

∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．

（1）求证：AF+EF=DE；

（2）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，

请在图2中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；

（3）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，

如图3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出

AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《周易》

类型二、直角三角形

2.下列说法正确的说法个数是（）

①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，

②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等，

③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，

④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．

A.1B.2C.3D.4

3.（2016•南开区一模）问题背景：

在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉

同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画

出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的

高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；

（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且

m≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为．

博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》

类型三、线段垂直平分线

4.如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，

BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．

（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；

（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改

写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．

志不强者智不达，言不信者行不果。——墨翟

【变式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40

度．

（1）求∠M的度数；

（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；

（3）你发现了怎样的规律？试证明；

（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐

类型四、角平分线

5.如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求

证