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2025年西藏自治区（统招专升本）高数二考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，下列结论正确的是（）

A.f(x)在(∞,+∞)上单调递增

B.f(x)在(∞,+∞)上单调递减

C.f(x)在(∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减

D.f(x)在(∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增

答案：D

解析：求导得f(x)=3x^23，令f(x)=0，解得x=±1。当x1或x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x1时，f(x)0，f(x)单调递减。因此，f(x)在(∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。

2.设函数f(x)=e^x2x，求f(x)的极值点。

A.x=0

B.x=1

C.x=2

D.无极值点

答案：B

解析：求导得f(x)=e^x2，令f(x)=0，解得x=ln2。f(x)=e^x，f(ln2)0，所以f(x)在x=ln2处取得极小值，即x=1。

3.设函数y=f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0，下列结论正确的是（）

A.f(x)在x=a处连续

B.f(x)在x=a处可导

C.f(x)在x=a处可微

D.f(x)在x=a的某邻域内连续

答案：C

解析：可导必连续，连续必可微。因此，f(x)在x=a处可微。

4.设函数f(x)=sinx+cosx，求f(x)的周期。

A.π

B.2π

C.4π

D.1

答案：B

解析：f(x+2π)=sin(x+2π)+cos(x+2π)=sinx+cosx=f(x)，所以f(x)的周期为2π。

5.设函数f(x)=x^33x^2+2x，下列结论正确的是（）

A.f(x)在(∞,+∞)上单调递增

B.f(x)在(∞,+∞)上单调递减

C.f(x)在(∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减

D.f(x)在(∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减

答案：C

解析：求导得f(x)=3x^26x+2，令f(x)=0，解得x=1。f(x)在x1时大于0，f(x)单调递增；在x1时小于0，f(x)单调递减。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^2+2x+1，求f(2)的值。

答案：9

2.设函数y=f(x)在x=a处可导，且f(a)=2，求极限lim(x→a)[f(x)f(a)]/(xa)的值。

答案：2

3.设函数f(x)=e^x2x，求f(x)。

答案：e^x2

4.设函数f(x)=sinx+cosx，求f(x)。

答案：sinx+cosx

5.设函数f(x)=x^33x^2+2x，求f(x)的拐点坐标。

答案：(1,0)

三、解答题（每题25分，共75分）

1.设函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的单调区间。

答案：f(x)=3x^212x+9。令f(x)=0，解得x=1和x=3。当x1或x3时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x3时，f(x)0，f(x)单调递减。因此，f(x)的单调递增区间为(∞,1)和(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)。

2.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的极值。

答案：f(x)=e^x(2x+x^2)，令f(x)=0，解得x=0和x=2。f(x)=e^x(2x+3x^2)，f(0)0，f(2)0。因此，f(x)在x=2处取得极大值，f(2)=4e^2；在x=0处取得极小值，f(0)=0。

3.设函数f(x)=sinxx，证明：f(x)在(∞,+∞)上至少有一个零点。

答案：f(0)=0，f(x)=cosx1。当x0时，f(x)0，f(x)单调递减；当x0时，f(x)0，f(x)单调递增。因此，f(x)在(∞,+∞)上至少有一个零点。