专题6.3 平面向量的应用 高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版.docxVIP

专题6.3平面向量的应用

练基础

练基础

1．（2021·重庆九龙坡区·高三二模）已知等边的边长为为它所在平面内一点，且，则的最大值为（）

A． B．7 C．5 D．

【答案】B

【解析】

取的中点，连接，并延长到，则有，从而将转化为，而，所以结合图形可得答案

【详解】

解：取的中点，连接，并延长到，使，

因为为等边三角形，所以，

所以,

因为，

所以,

因为等边的边长为，

所以，

要使取得最大值，则与共线且同向，

所以的最大值为，

故选：B

2．（2021·浙江高一期末）在中，，则（）

A．5∶3∶4 B．5∶4∶3 C． D．

【答案】D

【解析】

利用两个向量的数量积的定义可得，由此求得的值，利用正弦定理可得的值.

【详解】

由题意，在中，，

利用向量的数量积的定义可知，即

即，

即，

设，

解得，所以，

所以由正弦定理可得.

故选:D.

3．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知中，角的对边分别为为边上的高，以下结论：其中正确的选项是（）

A． B．为锐角三角形

C． D．

【答案】ACD

【解析】

画出图形，利用向量的数量积公式，三角形中余弦定理及向量的运算法则对各命题进行判断，看出每一个命题的正误

【详解】

解：

，所以，故A正确；

若，则为锐角，无法得到其他角的关系，故无法判断的形状，故B错误；

而，故C正确

由余弦定理有

故有，故D正确

故选：ACD．

4．【多选题】（2021·麻城市实验高级中学高三其他模拟）已知点为外接圆的圆心，，，则（）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】

根据垂径定理先求出，再求即可.

【详解】

令，则，所以（舍）或，

所以，

所以.

故选：BD.

5．（2021·河北高一期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，若的边长为﹐且，则的面积为___________.

【答案】

【解析】

先根据图形的构成判断出，利用余弦定理解出AF，利用面积公式即可求出的面积.

【详解】

因为，所以.

设，则，

在中，由余弦定理可得，解得，

所以.

故答案为：.

6．（2021·苏州市第三中学校高一期中）在中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是_________．

【答案】

【解析】

取，，作，由平行四边形法则可得点轨迹，确定所求最大值为；利用平面向量数量积的定义和余弦定理可求得所需边长，利用勾股定理可求得结果.

【详解】

取，，作，

为内（包含边界）的一动点且，

根据平行四边形法则可知：点的轨迹为线段，.

在中，，

，，

，，

即的最大值为.

故答案为：.

7．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐标系中，非零向量，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

由条件得，代入坐标形式进行运算，得到，从而求得范围.

【详解】

设点，由条件可知，，设向量与的夹角为，由得，即，

因为是非零向量，所以，于是，

因为，所以，所以的取值范围是．

故答案为：

8．（2021·浙江高三月考）已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）的最小值，则的最大值是__________．

【答案】

【解析】

将条件转化，然后用数形结合求解.

【详解】

设，，，则，，

依题意可知，，，，故点在△的外接圆上.

其半径，为点到直线的距离，

显然，当运动到点处时，有最大值.

故答案为：.

9．（2021·江苏苏州市·高一月考）我们知道，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的己知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证明“三角形的三条高交于一点”.已知，，是的三条高，求证：，，相交于一点.

【答案】证明见解析.

【解析】

结合向量的数量积即可证明.

【详解】

如图，设，则，

①-②得：，即

故，即，又

所以，，三点共线，

所以，，相较于一点.

10．（2021·浙江高一期末）甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东方向，

（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．

（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．

【答案】（1）点B与点P之间的距离为海里，（2）.

【解析】

（1）画出图形，利用余弦定理求解即可；

（2）利用向量的加法的平行四边形法则画出图形，然后利用正弦定理求解即可.

【详解】

（1）两