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穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》
数列题目精选精编
【典型例题】
（一）研究等差等比数列的有关性质
1.研究通项的性质
例题1.已知数列满足.
（1）求；
（2）证明：.
解：（1）.
（2）证明：由已知，故
，所以证得.
例题2.数列的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求.
解：（Ⅰ）由可得，
两式相减得：，
又∴故是首项为1，公比为3的等比数列
∴
（Ⅱ）设的公比为，由得，可得，可得
故可设，又，
由题意可得，解得
∵等差数列的各项为正，∴∴
∴
例题3.已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且
对任意的都成立，数列是等差数列.
⑴求数列与的通项公式；
⑵是否存在，使得，请说明理由.
n
点拨：（1）左边相当于是数列前项和的形式，可以联想到已知求的方法，当时，.
（2）把看作一个函数，利用函数的思想方法来研究的取值情况.
解：（1）已知…）①
时，…）②
①－②得，，求得，
在①中令，可得得，
所以N*）.
由题意，，，所以，，
∴数列的公差为，
∴，
）.
（2），
当时，单调递增，且，
所以时，，
天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为。——《孟子》
又，
所以，不存在，使得.
例题4.设各项均为正数的数列{a}和{b}满足：a、b、a成等差数列，b、a、b成
nnnnn+1nn+1n+1
等比数列，且a=1，b=2，a=3，求通项a，b
112nn
解：依题意得：
2b=a+a①
n+1n+1n+2
a2=bb②
n+1nn+1
∵a、b为正数，由②得，
nn
代入①并同除以得：，
∴为等差数列
∵b=2，a=3，，
12
∴，
∴当n≥2时，，
又a=1，当n=1时成立，∴
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