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性能势驱动的随机系统最优控制：理论框架与算法设计

一、引言：随机系统最优控制的研究范式与性能势价值

（一）研究背景与现实意义

在现代科学与工程领域，随机系统广泛存在且扮演着关键角色。无论是航空航天中的飞行器姿态控制，其飞行过程中受到大气湍流、传感器噪声等随机因素影响，需要精确控制以确保飞行安全与任务完成；还是金融市场里的投资组合管理，股价波动、利率变化等不确定性因素使得投资者必须优化投资策略以实现收益最大化；亦或是生物生态系统中种群数量的动态变化，受环境随机干扰、物种间相互作用等影响，都离不开随机系统的有效控制。这些复杂场景下，随机系统最优控制的目标是在不确定性环境中，通过调整控制策略，实现系统性能指标的最优化，比如最大化收益、最小化能耗、提高系统稳定性等。

传统的随机系统最优控制方法在面对非线性系统时，逐渐显露出诸多弊端。以贝尔曼动态规划为例，它在处理高维非线性系统时，由于需要对状态空间进行精细离散化，计算量随着系统维度的增加呈指数级增长，即所谓的“维数灾难”，这使得在线计算几乎成为不可能，严重限制了其在实时性要求较高场景中的应用。而性能势理论的出现，为解决这一困境带来了新的曙光。它通过构建系统状态与控制策略之间的映射关系，将复杂的随机系统性能转化为可分析和操作的势函数形式。这种创新的思路，使得我们能够绕开传统方法对模型精确性的过度依赖，以更加灵活和高效的方式实现系统性能的在线优化，为解决复杂随机系统的控制问题开辟了新路径。

（二）研究现状与技术瓶颈

当前，随机系统最优控制领域已经发展出多种方法，各有其特点与适用范围。贝尔曼动态规划基于最优性原理，将多阶段决策问题转化为一系列单阶段决策问题，通过求解贝尔曼方程来寻找最优控制策略，在理论上较为完善，但如前所述，其在非线性系统中遭遇维数灾难，计算效率极低。随机最大值原理则从哈密顿函数出发，利用变分法推导最优控制的必要条件，它对系统的数学模型要求较高，在处理复杂非线性和强不确定性系统时存在一定困难。

性能势理论为随机系统最优控制带来了新视角。它借助马尔可夫决策过程（MDP）对随机系统进行建模，将系统的长期性能转化为性能势函数。通过对性能势的分析和估计，可以建立优化方程并设计相应的控制算法。这种方法的优势在于能够从系统的样本路径中估算性能势，不依赖于精确的系统模型，对非线性系统具有更好的适应性。例如在一些实际生产过程控制中，即使系统模型存在不确定性，基于性能势的算法仍能通过对历史数据的学习和分析，找到较为优化的控制策略。然而，性能势理论在实际应用中也面临挑战。其数学推导涉及复杂的随机过程和泛函分析知识，过程繁琐且难度较大，这限制了该理论的广泛应用和深入发展。同时，基于性能势设计的算法在计算效率方面还有待提高，尤其是在大规模系统和实时性要求高的场景下，如何快速准确地计算性能势并迭代优化控制策略，仍是亟待解决的问题。

（三）研究目标与核心创新

本研究紧紧围绕非线性随机系统在线优化这一关键需求，致力于构建一套完整且高效的基于性能势的策略迭代算法框架。从理论层面出发，深入剖析性能势理论在随机系统中的作用机制，建立严谨的数学模型，明确系统状态、控制策略与性能势之间的定量关系，为后续算法设计奠定坚实基础。在算法设计阶段，精心设计策略迭代步骤，使算法能够根据系统实时状态和性能势估计，快速有效地更新控制策略，实现系统性能的逐步优化。同时，充分考虑算法的可实现性和实用性，确保其能够在实际工程中顺利落地应用。

核心创新点主要体现在以下几个方面：一是提出了一种新颖的性能势估计方法，该方法结合了深度学习中的神经网络技术，利用神经网络强大的非线性拟合能力，对复杂的性能势函数进行高效准确的逼近，大大提高了性能势的估计精度和计算速度，突破了传统性能势估计方法在处理复杂系统时的局限。二是在策略迭代算法中引入自适应学习率机制，算法能够根据系统性能的变化自动调整学习率大小，在算法初期快速收敛到较优解附近，后期则精细调整以达到最优解，有效平衡了算法的收敛速度和收敛精度，提高了算法的整体效率和稳定性。通过这些创新，本研究旨在为复杂随机系统提供一种兼具鲁棒性与计算效率的控制方案，推动随机系统最优控制领域的发展与应用。

二、性能势理论基础与随机系统建模

（一）随机系统的马尔可夫决策过程描述

随机系统的运行充满了不确定性，为了深入研究其最优控制问题，我们将随机控制系统抽象为连续状态的马尔可夫决策过程（MDP）。在这个框架下，系统的状态转移具有马尔可夫性，即未来的状态仅依赖于当前状态和当前所采取的控制动作，而与过去的历史状态无关。用数学语言描述，设系统在时刻t的状态为X_t，采取的控制动作（控制输入）为U_t，则下一时刻t+1的状态X_{t+1}满足P(X_{t+1}|X_1,U_1