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广东财经大学概率论期中试卷及答案

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

设事件A,B满足P(A|B)=P(A|C)，P(B|A)=P(C|A)，且P(A)0,P(B)0,P(C)0。证明事件A,B,C两两独立。

二、

已知随机变量X的概率密度函数为

f(x)={2x,0x1;

{0,其他.

求随机变量Y=1-X的概率密度函数f_Y(y)。

三、

设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示（部分）：

||Y=0|Y=1|

|----|-----|-----|

|X=0|a|0.1|

|X=1|0.2|b|

已知E(XY)=0.3，P(X≤1,Y≤1)=0.5。求a,b的值，并计算X和Y的协方差Cov(X,Y)。

四、

设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，Y=max(0,X-1)。求随机变量Y的分布函数F_Y(y)。

五、

设随机变量X和Y独立同分布，且均服从N(0,1)。令Z=X+Y,W=X-Y。求随机变量Z和W的协方差矩阵[Cov(Z,W)]。

六、

设随机变量X和Y独立，X服从U(0,1)，Y服从Exp(β)。求条件概率P(X≤Y|X≤1/2)。

七、

设总体X服从均匀分布U(θ,θ+2)，其中θ未知。若抽取样本X_1,X_2,...,X_n，求θ的最大似然估计量[θ?]。

八、

设总体X的概率密度函数为

f(x;α)={αx^(α-1),0x1;

{0,其他.

其中α0为未知参数。证明E(X)=α/(α+1)。

试卷答案

一、

证明：由P(A|B)=P(A|C)得P(AB)P(C)=P(AC)P(B)。由P(B|A)=P(C|A)得P(AB)P(A)=P(AC)P(A)。因为P(A)0，所以P(B)=P(C)。再由P(A|B)=P(A|C)得P(AB)=P(AC)。因此P(AB)P(C)=P(AB)P(B)，因为P(B)0，所以P(A)=P(A)。即P(AB)=P(A)P(B)。

类似可证P(BC)=P(B)P(C)和P(AC)=P(A)P(C)。

所以事件A,B,C两两独立。

二、

F_Y(y)=P(Y≤y)=P(1-X≤y)=P(X≥1-y)。

当y0时，1-y1，F_Y(y)=P(X≥1-y)=0。

当0≤y1时，01-y≤1，F_Y(y)=P(X≥1-y)=∫[1-y,1]2xdx=(x^2)[1-y,1]=1-(1-y)^2=2y-y^2。

当y≥1时，1-y≤0，F_Y(y)=P(X≥1-y)=1。

所以f_Y(y)=F_Y(y)={2,0y1;

{0,其他.

三、

由P(X=1,Y=1)=b，得P(X=1)=a+b=0.1+b。

由P(X=1,Y=0)=0.2，得P(Y=0)=a+0.2。

由P(X=0,Y=1)=0.1，得P(X=0)=a。

因为P(X=0)+P(X=1)=1，所以a+(0.1+b)=1，得b=0.9-a。

因为P(Y=0)+P(Y=1)=1，所以(a+0.2)+(0.1+b)=1，代入b=0.9-a，得0.3+2a=1，解得a=0.3-0.15=0.15。

代入b=0.9-a，得b=0.9-0.15=0.75。

E(XY)=1*1*b+1*0*0.2+0*1*0.1+0*0*a=b=0.75。

P(X≤1,Y≤1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=a+0.1+0.2+b=1。

所以a=0.15,b=0.75。

E(X)=0*a+1*(0.1+b)=0.1+0.75=0.85。

E(Y)=0*(