第2章非线形方程及其非线性方程组解法.ppt

§3.3.2牛顿迭代法的收敛性1牛顿迭代法收敛的充分条件设f(x)在[a,b]上二阶导数存在,且满足(1)f(a)f(b)0；则牛顿迭代法产生的序列{xk}收敛到f(x)在[a,b]的唯一根。(2)f’(x)?0；(3)选取x0?[a,b]使得f(x0)f”(x0)0；有根产生的序列单调有界，保证收敛。(4)在整个[a,b]上f”不变号根唯一*第61页，共118页，星期日，2025年，2月5日§3.3.2牛顿迭代法的收敛性yx0B=x0f’’(x)0xn+1?ayx0B=x0f’’(x)0ayx0Bf’’(x)0a=x0yx0Bf’’(x)0a=x0*第62页，共118页，星期日，2025年，2月5日§3.3.2牛顿迭代法的收敛性xy0x0xy0x0不满足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的情况而找不到根或死循环的情况。（1）（2）（3）不满足。（3）（4）不满足。*第63页，共118页，星期日，2025年，2月5日§3.3.3切线（牛顿）法的变形使用 取f’(xn)为固定值，例如取f’(x0)，这时迭代公式成为xn+1=xn-f(xn)/f’(x0),称为简化切线法，或固定斜率的切线法1.简化切线法yx0x0y=f(x)x1x2?几何意义*第64页，共118页，星期日，2025年，2月5日§3.3.3切线法的变形使用推广的简化切线法当取f’(xn)=C(任意不为0的常数),迭代公式成为xn+1=xn-f(xn)/C,称为推广的简化切线法.C值应满足|φ’(x)|=|1-f’(x)/C|1,解不等式有:1-f’(x)/C01-f’(x)/C1-(1-f’(x)/C)0-(1-f’(x)/C)1解得0f’(x)/C2可见,当C与f’(x)同号,且满足上式时,推广的简化切线法是收敛的。*第65页，共118页，星期日，2025年，2月5日§3.3.3切线法的变形使用引进参数λ，xn+1=xn-λf(xn)/f’(xn)，并用尝试法修改λ值大小(即改变原切线的斜率)，使达到|f(x0)||f(x1)|…单调下降的目的。称|f(xn+1)||f(xn)|为下山条件,这种算法为下山法.2.牛顿下山法下山条件:*第66页，共118页，星期日，2025年，2月5日§3.3.3切线法的变形使用具体步骤λ=1，即在xn基础上用切线法迭代一次得xn+1，然后检查下山条件是否满足；若下山条件满足,则继续用切线法迭代,当满足精度要求时,停止迭代,获得最终结果若下山条件不满足,修改λ值,算出新的近似值xn+1后再检验下山条件是否满足,若不满足，则再一次修改,重复以上过程,直到下山条件满足,此后迭代计算又改为切线法,直到达到精度要求。*第67页，共118页，星期日，2025年，2月5日§3.3.3切线法的变形使用λ值的选取切线法中新、旧迭代值yn+1、xn按λ与(1-λ)的线性组合公式*第68页，共118页，星期日，2025年，2月5日§3.3.3切线法的变形使用切线法中新、旧迭代值yn+1、xn按λ与(1-λ)的线性组合公式*第69页，共118页，星期日，2025年，2月5日例2.9：用牛顿下山法求f(x)=x3-x-1=0的根解:方程在[0,1.5]内有根，取x0=0.6§3.3.3切线法的变形使用*第70页，共118页，星期日，2025年，2月5日§3.3.3切线法的变形使用*第71页，共118页，星期日，2025年，2月5日§3.3.3切线法的变形使用*第72页，共118页，星期日，2025年，2月5日§3.3.3切线法的变形使用找到满足下山条件的一次迭代的值*第73页，共118页，星期日，2025年，2月5日§3.3.3切线法的变形使用*第74页，共118页，星期日，2025年，2月5日方程式法1两边同时减去?x?=??(x)方程式法2?=1/f?(x)f?(x)=(m+M)/2埃特肯法牛顿迭代法?=1/f?(xn)牛顿下山法*第75页，共118页，星期日，2025年，2月5日改变等效方程法之一埃特肯加速法迭代二次得到三个相邻迭代值，取其后两次迭代值的平均变化率作为?的值，然后利用式1求迭代值，?是一个变化的值。收敛阶数为2。改变方程式法之二*第76页