2025年有限元应用举例2.pdfVIP

古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。——苏轼

有限元法及应用

1有限元的发展历程

2025年，“有限元”这个名词第一次在我国出现,到今天有限元在工程上得

到广泛应用,经历了三十多年的发展历史,理论和算法都已经日趋完善。有限元法

(FiniteElementMethod,简写为FEM)是求解微分方程的一种非常有效的数值计

算方法,用这种方法进行波动数值模拟受到越来越多的重视。有限元法起源于固

体力学,并逐步扩展到热传导、计算流体力学、电磁学等不同领域,已经成为数学

物理中很重要的数值计算方法。

有限元法的发展历程可以分为提出(1943)、发展(1944一1960)和完善(1961-

二十世纪九十年代)三个阶段。有限元法是受内外动力的综合作用而产生的。

1943年，柯朗发表的数学论文《平衡和振动问题的变分解法》和阿格瑞斯

在工程学中取得的重大突破标志着有限元法的诞生。

有限元法早期(1944一1960)发展阶段中，得出了有限元法的原始代数表达

形式，开始了对单元划分、单元类型选择的研究，并且在解的收敛性研究上取得

了很大突破。1960年，克劳夫第一次提出了“有限元法”这个名称，标志着有

限元法早期发展阶段的结束。

有限元法完善阶段(1961一二十世纪九十年代)的发展有国外和国内两条线

索。在国外的发展表现为:第一，建立了严格的数学和工程学基础;第二，应用范

围扩展到了结构力学以外的领域;第三，收敛性得到了进一步研究，形成了系统

的误差估计理论;第四，发展起了相应的商业软件包。

在国内，我国数学家冯康在特定的环境中独立于西方提出了有限元法。1965

年，他发表论文《基于变分原理的差分格式》，标志着有限元法在我国的诞生。

冯康的这篇文章不但提出了有限元法，而且初步发展了有限元法。他得出了有限

元法在特定条件下的表达式，独创了“冯氏大定理”并且初步证明了有限元法解

的收敛性。

2有限元法的基本思想

有限元法的基本思想是将计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元

内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由

各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原

理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构

成不同的有限元方法。

有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展逐渐用于流体力学

的数值模拟。在有限元方法中,将计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接

的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真

解,整个计算域上总体的基函数可以看作是由每个单元基函数组成的,则整个计

算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。

3有限元的主要优点[2]

（1）概念浅显，容易掌握，可以在不同的水平上建立对该法的理解，因而可

以通过非常直观的物理途径来学习这一方法。

（2）具有很强的实用性，应用范围极为广泛。不仅可以成功的处理应力分析

饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。——《论语》

中的一般性问题，而且可以用来求解诸如热传导、流体力学及电磁场等

连续介质领域的许多问题。

（3）该法采用矩阵形式的表达式，便于编制计算机程序。

4有限单元法的分析过程

有限单元法的分析过程概括起来可以分为以下七步：

1结构力学模型的简化首先要从实际问题中抽象出力