第八章弹性力学.pptVIP

解：（1）对于平面应变问题，在常截面的很长柱体（可以假设为无限长），只有x,y方向的体力、面力和约束且沿z方向不变的条件下，由于任一横截面（z面）均为对称面，可以推论出，第93页，共139页，星期日，2025年，2月5日从式可以得出，在式中，表示等式左边的物理量仅为x,y的函数。第94页，共139页，星期日，2025年，2月5日将式代入空间问题的平衡微分方程、相容方程、应力和位移边界条件，可以得出平面应变问题的全部方程和条件，而其余的方程和条件均为自然满足。例如，将式代入空间问题的相容方程（书中式（8-10）、（8-11））得出而其余五式全部自然满足。第95页，共139页，星期日，2025年，2月5日因此，从空间问题的基本理论，可以导出平面应变问题的理论。（2）对于平面应力问题，在很薄的板，只受x,y方向的体力、面力和约束，且不沿板厚方向（z向）变化；又在板面上无任何面力的条件下，由板面的边界条件第96页，共139页，星期日，2025年，2月5日假设在弹性体内因此，只有平面应力和，并进一步假设这就是平面应力问题。由上两式，还可得出第97页，共139页，星期日，2025年，2月5日将式代入空间问题的相容方程（书中式），除了得出式外，还得出第98页，共139页，星期日，2025年，2月5日薄膜比拟的应用：（3）通过薄膜比拟,提出扭转应力函数的假设。（2）通过薄膜比拟,直接求解薄壁杆件的扭转问题。（1）通过薄膜比拟试验,求解扭转问题。第61页，共139页，星期日，2025年，2月5日扭转问题已归结为求扭转应力函数，应满足：（1）A域中,（2）S上,（3）A域中,§8－7椭圆截面杆的扭转求φ的条件第62页，共139页，星期日，2025年，2月5日式中的C为常数，其特解十分简单；而式的通解为调和函数。C可以由式求出。第63页，共139页，星期日，2025年，2月5日椭圆截面杆受M的扭转，可以由式(a),(b),(c)求解。1.为了满足式(b)，可取在椭圆边界上椭圆截面杆第64页，共139页，星期日，2025年，2月5日2.将式(d)代入(a)，解出3.再将式(d)及(e)代入式(c)，求出从而得出第65页，共139页，星期日，2025年，2月5日求出单位长度杆件的扭角：第66页，共139页，星期日，2025年，2月5日z向的位移为可见横截面不保持为平面。只有当a=b的圆截面时，w=0，才保持为平面。第67页，共139页，星期日，2025年，2月5日对于的狭矩形截面，从薄膜比拟来看,在边界条件中，长边上应严格满足§8－8矩形截面杆的扭转而短边(x=±b)是次要的，可忽略。狭矩形截面杆1.狭矩形截面杆的扭转第68页，共139页，星期日，2025年，2月5日（2）在方程中，应主要考虑y向的导数，而可忽略x向的导数，∴由式和，可得可简化为第69页，共139页，星期日，2025年，2月5日（3）将代入求出∴狭矩形杆的解答为第70页，共139页，星期日，2025年，2月5日矩形截面杆2.一般矩形截面杆的扭转以狭矩形杆解答为基础，再迭加一个修正解的方法,进行求解：第71页，共139页，星期日，2025年，2月5日应满足条件是由上式可导出F应满足的条件:第72页，共139页，星期日，2025年，2月5日从式（h）可解出F，再由式（g）得，然后求出应力等解答（用双曲函数和三角函数的级数表示）。书中列出了简化的结果，见式（8-34）和（8-35）。第73页，共139页，星期日，2025年，2月5日3.薄壁杆件的扭转（2）从薄膜比拟可见，当狭矩形的a,b相同时，直线形和曲线形截面的薄膜是相似的，∴它们的相同。（1）