计算方法之计算矩阵的特征值和特征量.pptVIP

*☆规范化幂法算法描述（?1是单实根，且?10） 一、数据说明 a[n][n] — 存放方阵A中各元素； V0[n] — 表示迭代式中的V(k); V1[n] — 表示迭代式中的V(k+1); U[n] — 规范化向量 lamda — 按模最大特征值 EPS — 精度控制量 二、操作步骤 Step1 输入A中元素第30页，共51页，星期日，2025年，2月5日* Step2 V0[n]?(0,0,...,0)T； V1[n]?(1,1,...,1)T Step3 While||V1-V0||?EPSDO Step4 V0?V1; Step5 计算V(k+1)=AV(k): U[i]?V0[i]/max(V0[i]) 计算V(k+1)=AU(k) Step6 计算||V1-V0||? EndWhile Step7 Output(lamda=max(V1[n]),U[n])第31页，共51页，星期日，2025年，2月5日* 设待求n阶矩阵A可逆，且其特征值为?i（i=1,2,…,n） 对应的特征向量为Xi，二者满足关系式AXi=?iXi 等式两边同时乘以A-1，得 Xi=?iA-1Xi ，即 由特征值与特征向量的定义，知为A-1的特征值，而Xi为对应的特征向量。第32页，共51页，星期日，2025年，2月5日* 显然，如果?i是A的按模最小特征值，那么其倒数则是A-1的按模最大特征值。 问题的解决：求规范化幂法求出A-1的按模最大特征值，取其倒数即A的按模最小特征值。即 考虑A-1的计算烦琐，将上式变换为： —— 反幂法。第33页，共51页，星期日，2025年，2月5日*计算步骤：（1） 将A进行LU分解；（2） 取初始向量U(0)=V(0) 计算V(1)=AU(0) U(1)=V(1)/||V(1)||?，代入AV(2)=U(1),求V(2) U(2)=V(2)/||V(2)||?，代入AV(3)=U(3),求V(3) ………… 当||V(k+1)–V(k)||?EPS时停止。（3） 取 1/max(V(k+1))为按模最小特征值 U(k)为对应特征向量。第34页，共51页，星期日，2025年，2月5日* 实例-用反幂法求的按模最小特征值 解法 用先对A进行LU分解 取初始向量V(0)=U(0)=(1,1)T 按计算出V(1)，再计算U(1)，……第35页，共51页，星期日，2025年，2月5日*编程作业： 编制反幂法求方阵按模最小特征值的程序。1、什么是实对称矩阵？ 对实矩阵A，若有A=AT，即aij=aji，则A为实对称矩阵。2、Jacobi法的基本思想 （1）对实矩阵A，其所有特征值均为实数，而且一定存在一个正交矩阵P，使第36页，共51页，星期日，2025年，2月5日计算方法之计算矩阵的特征值和特征量第1页，共51页，星期日，2025年，2月5日* 在线性代数中按如下三步计算： 1、计算出A的特征多项式│A-?E│； 2、求出特征方程│A-?E│=0的全部根?i 3、将?i代入(A-?iE)X=0求出基础解系，即得A的对应于?i的特征向量，而基础解系的线性组合即为A的对应于?i的全部特征向量。 例 求矩阵 的特征值与特征向量第2页，共51页，星期日，2025年，2月5日* 解：计算特征多项式方程，即 解得A的两个特征值：?1=4，?2=2。（1）?1=4 将?1=4代入(A-?E)X=0得(A-4E)X=0 第3页，共51页，星期日，2025年，2月5日* 取对应于?1=4的基础解向量 则对应于?1=4的全部特征向量为：（2）?2=2 将?1=2代入(A-?E)X=0得(A-2E)X=0 取对应于?2=2的基础解向量第4页，共51页，星期日，2025年，2月5日* 方法局限性：当矩阵阶数较高（如阶数n4）时，将面临两方面的难题： （1）多项式的计算对舍入误差非常敏感； （2）求高次方程的根尤其是重根存在困难。 则对应于?2=2的全部特征向量为：特征值的数值计算方法1、幂法：求按模最大特征值，即2、反幂法：求按模最小特征值，即3、Jacobi法：求实对称矩阵所有特征值和特征向量。第5页，共51页，星期日，2025年，2月5日* 幂法是一种迭代法。 基本思想：把矩阵的特征值和特征向量作为一个