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2025年江苏省专升本数学考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=(x^22x+1)^2，则f(x)的极小值为（）

A.0

B.1

C.4

D.8

答案：C

解析：f(x)=(x1)^4，由于(x1)^4=0，所以f(x)的极小值为0，当x=1时取到。但题目要求极小值，所以选C。

2.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，则f(x)的单调递增区间为（）

A.(∞,0)

B.(0,2)

C.(1,+∞)

D.(∞,2)

答案：D

解析：f(x)=3x^26x+2，令f(x)0，解得x1或x2。所以f(x)的递增区间为(∞,1)和(2,+∞)，选项D符合题意。

3.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，则矩阵A的行列式值为（）

A.2

B.2

C.6

D.8

答案：A

解析：行列式值为1423=46=2，所以选A。

4.设函数f(x)=x^2+k在x=2处的切线斜率为2，则k的值为（）

A.2

B.0

C.2

D.4

答案：C

解析：f(x)=2x，当x=2时，f(2)=4。因为切线斜率为2，所以k=24=2，所以选C。

5.设函数y=f(x)在x=1处可导，且f(1)=2，f(1)=3，则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为（）

A.y=2x+1

B.y=2x+3

C.y=2x1

D.y=2x3

答案：D

解析：切线方程为yf(1)=f(1)(x1)，代入f(1)=2，f(1)=3，得y3=2(x1)，整理得y=2x1，所以选D。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数y=x^33x^2+4x5的导数为______。

答案：3x^26x+4

2.设矩阵A=[[2,3],[4,5]]，矩阵A的逆矩阵为______。

答案：[[5,3],[4,2]]

3.函数f(x)=x^22x+3在x=1处的二阶导数为______。

答案：2

4.设函数y=f(x)在x=a处取得极大值，则必有f(a)=______。

答案：0

5.线段AB的中点坐标公式为______。

答案：((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)

三、解答题（共50分）

1.（本题10分）设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的单调区间。

答案：f(x)=3x^26x+2，令f(x)0，解得x1或x2。令f(x)0，解得1x2。所以f(x)在(∞,1)和(2,+∞)单调递增，在(1,2)单调递减。

2.（本题10分）求函数f(x)=x^33x^2+4x5在x=1处的切线方程。

答案：f(x)=3x^26x+4，f(1)=1。f(1)=1。切线方程为y1=1(x1)，即y=x。

3.（本题15分）求矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值和特征向量。

答案：特征值为3,1。特征向量分别为v1=[1,1]，v2=[1,1]。

4.（本题15分）设函数f(x)=x^2+kx+1在x=1处取得极小值，求k的取值范围。

答案：f(x)=2x+k，f(1)=2+k。令f(1)=0，解得k=2。f(x)=2，f(1)0，所以k=2时，f(x)在x=1处取得极小值。所以k的取值范围为k=2。