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2025年江苏省高数二（专升本）考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，下列结论正确的是（）

A.f(x)在x=1处取得极大值

B.f(x)在x=1处取得极小值

C.f(x)在x=2处取得极大值

D.f(x)在x=2处取得极小值

答案：B

解析：f(x)=3x^26x+2，令f(x)=0得x=1或x=2。f(x)=6x6，f(1)=0，f(2)=60，所以f(x)在x=1处取得极小值。

2.设函数y=e^x2x，求y在x=0处的切线方程是（）

A.y=x

B.y=x

C.y=2x

D.y=2x

答案：B

解析：y=e^x2，y(0)=12=1。切点为(0,1)，所以切线方程为y1=1(x0)，即y=x+1。

3.设函数y=x^2sinx，求y的导数y是（）

A.2xsinx+x^2cosx

B.2xsinxx^2cosx

C.x^2cosx

D.2xsinx

答案：A

解析：y=(x^2)sinx+x^2(sinx)=2xsinx+x^2cosx。

4.设函数y=ln(x^2+1)，求y的二阶导数y是（）

A.2/(x^2+1)

B.2x/(x^2+1)^2

C.2/(x^2+1)^2

D.2x/(x^2+1)^2

答案：B

解析：y=2x/(x^2+1)，y=(2x/(x^2+1))=2(x^2+1)12x2x/(x^2+1)^2=2x/(x^2+1)^2。

5.设函数y=arctanx，求y在x=1处的二阶导数y是（）

A.1/2

B.1/2

C.2

D.2

答案：A

解析：y=1/(1+x^2)，y=(2x)/(1+x^2)^2，所以y(1)=1/2。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的单调递增区间为______。

答案：(∞,1]∪[2,+∞)

解析：f(x)=3x^26x+2，令f(x)0得x1或x2。

2.设函数y=e^x2x，求y在x=0处的切线斜率为______。

答案：1

解析：y=e^x2，y(0)=12=1。

3.设函数y=x^2sinx，求y的二阶导数y为______。

答案：2xsinx+2x^2cosxx^3sinx

解析：y=2xsinx+x^2cosx，y=(2xsinx+x^2cosx)=2xsinx+2x^2cosxx^3sinx。

4.设函数y=ln(x^2+1)，求y的二阶导数y为______。

答案：2x/(x^2+1)^2

解析：y=2x/(x^2+1)，y=(2x/(x^2+1))=2x/(x^2+1)^2。

5.设函数y=arctanx，求y在x=1处的二阶导数y为______。

答案：1/2

解析：y=1/(1+x^2)，y=(2x)/(1+x^2)^2，所以y(1)=1/2。

三、解答题（每题25分，共75分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的单调区间、极值及其对应的x值。

答案：f(x)在(∞,1]单调递增，在[1,2]单调递减，在[2,+∞)单调递增。f(x)在x=1处取得极小值0，在x=2处取得极大值3。

解析：f(x)=3x^26x+2，令f(x)=0得x=1或x=2。根据f(x)的符号变化，可得到f(x)的单调区间。将x=1和x=2代入f(x)得到f(1)=0和f(2)=3。

2.设函数y=e^x2x，求y在x=0处的切线方程，并求切线与x轴的交点坐标。

答案：y=x+1，交点坐标为(1,0)。

解析：y=e^x2，y(0)=12=1。切点为(0,1)，所以切线方程为y1=1(x0)，即y=x+1。令y=0得x=1，所以交点坐标为(1,0)。

3.设函数y=x^2sinx，求y的导数y和二阶导数y，并判断y在x=π/2处的正负。

答案：y=2xsinx+x^2cosx，y=2xsinx+