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2025年江苏专升本高等数学考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+4，则f(x)的单调递增区间是（）

A.(∞,1)

B.(1,+∞)

C.(∞,2)

D.(2,+∞)

答案：C

解析：f(x)=3x^26x，令f(x)0，得x0或x2。故f(x)的单调递增区间为(∞,0)和(2,+∞)，选项C正确。

2.设函数y=2e^x+3lnx的定义域为（）

A.(∞,0)

B.(0,+∞)

C.(∞,1]

D.[1,+∞)

答案：B

解析：e^x和lnx的定义域分别为全体实数和(0,+∞)，所以函数y的定义域为(0,+∞)，选项B正确。

3.设函数y=x^2sinx，求y的n阶导数的一般形式是（）

A.(x^2+2nx)sinx+n(n1)x^2cosx

B.(x^2+2nx)sinxn(n1)x^2cosx

C.(x^22nx)sinx+n(n1)x^2cosx

D.(x^22nx)sinxn(n1)x^2cosx

答案：B

解析：利用莱布尼茨公式，y^(n)=(x^2)^(n)(sinx)^(n)+C(n,1)(x^2)^(n1)(sinx)^(n1)cosx+...+C(n,n1)(x^2)(sinx)^(1)(cosx)^(n1)+(sinx)^(n)。将各项展开并合并同类项，得y^(n)=(x^2+2nx)sinxn(n1)x^2cosx，选项B正确。

4.若函数y=f(x)在x=x0处取得极值，则下列结论正确的是（）

A.f(x0)=0且f(x0)≠0

B.f(x0)≠0且f(x0)=0

C.f(x0)=0且f(x0)=0

D.f(x0)≠0且f(x0)≠0

答案：C

解析：函数y=f(x)在x=x0处取得极值，意味着f(x0)=0。同时，f(x0)可能为0，也可能不为0。故选项C正确。

5.下列积分中收敛的是（）

A.∫(0,+∞)1/xdx

B.∫(∞,0)1/xdx

C.∫(0,+∞)1/(x^2+1)dx

D.∫(∞,0)1/(x^2+1)dx

答案：C

解析：当x趋于+∞时，1/(x^2+1)趋于0，故积分收敛。其他选项的积分均发散。选项C正确。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数f(x)=x^36x+9在x=1处的二阶导数f(1)=_______。

答案：6

2.下列不定积分中，∫(e^x/(1+e^x)^2)dx=_______。

答案：1/(1+e^x)+C

3.定积分∫(0,π)sin^2xdx=_______。

答案：π/2

4.设函数f(x)=x^22x+1，求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值，最大值为_______，最小值为_______。

答案：4，0

5.设函数y=x^33x^2+4，求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程，切线方程为_______。

答案：3xy2=0

三、解答题（每题10分，共30分）

1.设函数y=x^2e^x，求y的n阶导数的一般形式。

答案：y^(n)=(x^2+2nx)e^x+n(n1)(x+1)e^x

2.求函数f(x)=x^33x^2+4在区间[1,4]上的最大值和最小值。

答案：最大值为27，最小值为0。

3.计算定积分∫(0,π)sin^3xdx。

答案：2π/3