函数集合的基数.pptxVIP

第5章函数

函数是一个基本数学概念,在通常函数定义

中,y=f(x)在实数集合上讨论.在这里,函数概念得

到了推广,函数被看成是一个特殊关系.

5.1函数概念

5.1.1函数基本概念

函数也称为映射,它反应了从一个集合到另一个

集合之间一个对应关系.

定义设X和Y是任意两个集合，f是从X到Y关系，若

对于每一个x∈X，都存在一个唯一y∈Y，能使

x,y∈f，则称关系f为X到Y函数（映射）,

记作f：X→Y.

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比如,集合X={1,2,3},Y={6,7,8,9},

f={1,8,2,6,3,7},则f是从X到Y函数.

又如,集合X={a,b,c},Y={r,g,b},

f={a,r,b,g,c,g},则f是从X到Y函数.

例:判别以下关系中哪个能组成函数.

(1)X={1,2,3,4},Y={4,5,6},

当x∈X，y∈Y，且x＜y时,有x,y∈f.

解:f不是X到Y函数.

如对于元素2∈X,有2,4∈f,2,5∈f,2,6∈f,

说明X中元素2与Y中3个元素对应,所以f不是X到Y函数.

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(2)设N时自然数集合,f是N到N二元关系,对于

x,y∈N,x+y＜100.

解:f不是X到Y函数.因为x不能取定义域中全部值,且x

对应多个y,故关系f不能组成函数.

(3)

D(f)=XD(f)≠X值不是唯一

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例：设X={a,b,c}，Y={0,1}，则

XY{a,0a,1b,0b,1c,0c,1}

6

XY中,有264个子集,

3个子集可定义为X到Y函数

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f0={a,0,b,0,c,0}

f1={a,0,b,0,c,1}

f2={a,0,b,1,c,0}

f3={a,0,b,1,c,1}

f4={a,1,b,0,c,0}

f5={a,1,b,0,c,1}

f6={a,1,b,1,c,0}

f7={a,1,b,1,c,1}

讨论：从此例中可得到结论：

设X和Y都是有限集,且|X|=m，|Y|=n，

则函数f:X→Y中均是m个序偶集合；另外,对于任何

x∈X,能够有Y中n个元素中任何一个作为它像,所以,

共有n个不一样m函数.

用符号YX表示从X到Y全部函数集合.

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f(a)=1,f(b)=2,f(c)=f(d)=3,

满射函数一定有：

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f(a)=1,f(b)=2,f(c)=3

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例:判定以下函数是单射,满射还是双射函数.

(1)集合A={1,2,3,4},B={a},f是A到B函数,且

f(1)=a,f(2)=a,f(3)=a.

f是A到B满射函数.

(2)集合A={1,2,3},B={a,b,c,d},f是A到B函数,且

f(1)=a,f(2)=d,f(3)=c.

f是A到B单射函数.

(3)设A是正整数集合,B是正偶数集合,f是A到B函数,

且对于任意正整数n,有f(n)=2n.

f是A到B双射函数.

(4)设Z是整数集合,N是自然数集合,f是Z到N函数,对

于任意整数x,有f(x)=x.

f不是A到B双射函数,单射函数,也不是满射函数.

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5.2复合函数与逆函数

5.2.1复合函数

定义设函数f:X→Y和g:Y→Z,f和g左复合函数

g◦f是从X到Z函数,g◦f(x)=g(f(x)).由f,g得到

g◦f运算“◦”称为复合运算.

注意：假如把f作为X到Y关系,g作为Y到Z关系,复合

函数g◦f实际上是一个从X到Z合成关系f◦g,之所以

这么记,是为了照料习惯,人们通常将先计算f,后计

算g复累计算写成g(f(x)),即把g写在f左边