整除基本性质与数论基础概念.pdfVIP

第一讲整除的基本性质

【知识点】

1、整除

对于给定的整数p、q（q≠0），存在唯一的整数n和r，满足p=nq+r且0≤rq．其中r叫做p

被q除所得的余数．

当r=0时，我们称p能被q整除，记为q|p，此时称p为q的倍数，q为p的约

数．利用整除的定义，我们有如下重要性质：

若c|a,c|b，则对于任意整数m、n，c|ma+nb．（即c整除a、b的任意一个“线性组合”）

2、质数与合数

对任意大于1的正整数n，如果除1与n之外没有其它的正约数，那么称n为质数（素数）．否则称n

为合数．这样，我们把正整数分成了三类：1，质数，合数．

质数的性质，是数论研究中最的内容之一，有许多与质数有关的问题目前正有待于解决．

除了整除概念之外，本讲所涉及的其他概念都局限于正整数的范围之内．

3、最大公约数

设a,a,2)是n个正整数，若正整数d是这n个数中每一个数的约数，则称d为这n个正整

12

(n≥

数的公约数．在这所有公约数中的最大数，称为这n个整数的最大公约数，记作a,a,,a)

(12n

)．容易看出，最大公约数有以下性质成立：

（1）若a|b，则(a,b)=a．

（2）对于任意正整数m，a,b=a,ma+b．

()()

（3）对于任意正整数m，ma,mb=m⋅a,b．

()()

若(a,b)=1，则称正整数a和b互

质．有如下重要性质（）：

对正整数a、b，若存在整数m、n，使得ma+nb=1，则有a、b互

ma+nb=

质．反之，当正整数a、b互质时，必存在整数m、n，使得

1．

在互质关系中，我们常常利用这些性质：

（1）若(c,a)=1，c|ab，则c|b．

b|a,c|a,b,c=1

（2）若()，则bc|a．

（3）若p为质数，p|ab，则p|a或p|b．

Lecture1:BasicPropertiesof

Divisibility

【Knowledge

Points】

1、整除

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obtainedbydividingpbyq