导数与函数极值及值分析.pdfVIP

第12讲导数与函数的极值、最值

[学生P50]

1.函数的极值

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；

而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)

叫做函数y＝f(x)的极小值．

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；

则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)

而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，

叫做函数y＝f(x)的极大值．

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．

2.函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函

数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

1.辨明两个易误点

(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；

(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概

念．2．明确两个条件

一是f′(x)0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．

二是对于可导函数f(x)，f′(x)＝0是函数f(x)在x＝x处有极值的必要不充分条件．

00

1.习题改编函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图

所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()

Lecture12Derivativesandextremevaluesand

umvaluesoffunctions

[StudentBookP50]

1.Extremumof

function

Thefunctionvaluef(a)offunctiony＝f(x)atpointx＝aissmallerthanits

functionvalueatotherpointsnearpointx＝a,f′(a)＝0;andontheleftf′(x)＜0and

rightf′(x)＞0nearpointx＝a,pointaiscalledtheminimumpointoffunctiony＝

f(x),f(a)Itiscalledtheminimumvalueoffunctiony＝f(x).

Thefunctionvaluef(b)offunctiony＝f(x)atpointx＝bislargerthanits

functionvalueatotherpointsnearpointx＝b,f′(b)＝0;andontheleftf′(x)＞0and

rightf′(x)＜0nearpointx＝b,pointb