第六章二次型与对称阵.pptVIP

§2二次型的标准形3.用配方法化二次型为标准形例2.4用可逆线性变换化二次型为标准形.解第29页，共61页，星期日，2025年，2月5日§2二次型的标准形例2.5用可逆线性变换化二次型为标准形.并求出所用的可逆线性变换。解第30页，共61页，星期日，2025年，2月5日§2二次型的标准形用可逆线性变换第31页，共61页，星期日，2025年，2月5日§2二次型的标准形由配方法可知：定理2.3任何二次型必可经过可逆线性变换化为标准形。定理2.4任何对称矩阵必可合同于对角矩阵。第32页，共61页，星期日，2025年，2月5日§2二次型的标准形本节学习要求1.理解二次型的标准形的概念，熟悉有关定理。2.掌握化二次型为标准形的方法。作业：习题6.2(A)第1(1),2(2)题(P179)第33页，共61页，星期日，2025年，2月5日§3合同变换与二次型的规范型本节教学内容1.合同变换法2.实二次型的规范形3.复二次型的规范形4.实二次型规范形惟一性的证明第34页，共61页，星期日，2025年，2月5日§3合同变换与二次型的规范型1.合同变换法定义3.1用初等矩阵作合同因子所进行的合同变换称为初等合同变换，即下列三种：⑴倍法初等合同变换：⑵消法初等合同变换：⑶换法初等合同变换：定理3.1任何合同变换必可经过有限多次初等合同变换实现。(证略)第35页，共61页，星期日，2025年，2月5日§3合同变换与二次型的规范型例3.1用初等合同变换把对称矩阵化为对角矩阵。解0003303-40309/4000第36页，共61页，星期日，2025年，2月5日§3合同变换与二次型的规范型例用初等合同变换把对称矩阵化为对角矩阵。解第37页，共61页，星期日，2025年，2月5日§3合同变换与二次型的规范型用初等合同变换化二次型?(x)=xTAx为标准形思想方法于是经可逆线性变换x=Py，?(x)=yTBy第38页，共61页，星期日，2025年，2月5日§3合同变换与二次型的规范型例2.5在实数域上，化二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换。解二次型的矩阵第39页，共61页，星期日，2025年，2月5日§3合同变换与二次型的规范型第40页，共61页，星期日，2025年，2月5日§3合同变换与二次型的规范型2.实二次型的规范形定理3.2任意实对称阵A合同对角阵称之为实对称矩阵A的规范形.其中p+q=R(A)，p,q由A唯一确定；p称为A的正惯性指数；q称为A的负惯性指数；p-q称为A的符号差。(证略)第41页，共61页，星期日，2025年，2月5日§3合同变换与二次型的规范型推论3.1任意实二次型?(x)=xTAx，总有可逆线性变换x=Py,使称之为实二次型的规范形，且规范形由原二次型唯一确定。其中p称为二次型?(x)的正惯性指数；q称为二次型?(x)的负惯性指数；p+q=R(?)；p-q称为二次型?(x)的符号差.第42页，共61页，星期日，2025年，2月5日§3合同变换与二次型的规范型例用可逆线性变换把实二次型化为规范形,并指出其正惯性指数,负惯性指数和符号差.解：正惯性指数=1,负惯性指数=2,符号差=1-2=-1。第43页，共61页，星期日，2025年，2月5日第六章二次型与对称阵第1页，共61页，星期日，2025年，2月5日第六章二次型与对称阵本章教学内容§1二次型及其矩阵§2二次型的标准型§3合同变换与二次型的规范型§4实二次型的分类正定二次型第2页，共61页，星期日，2025年，2月5日§1二次型及其矩阵本节教学内容1.二次型及其矩阵的概念2.线性变换的概念第3页，共61页，星期日，2025年，2月5日§1二次型及其矩阵1.二次型及其矩阵的概念定义1.1含n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式称为二次型。若每个aij∈数域P,?(x1,x2,…,xn)称为数域P上的二次型；若每个aij∈R，?(x1,x2,…,xn)称为实二次型；若每个aij∈C，?(x1,x2,…,xn)称为复二次型。称为标准形第4页，共61页，星期日