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第04讲基本不等式及其应用

目录

考点要求

考题统计

考情分析

（1）了解基本不等式的推导过程．

（2）会用基本不等式解决简单的最值问题．

（3）理解基本不等式在实际问题中的应用．

2022年II卷第12题，5分

2021年乙卷第8题，5分

2020年天津卷第14题，5分

高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题．

1、基本不等式

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．

【解题方法总结】

1、几个重要的不等式

（3）其他变形：

调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．

2、均值定理

3、常见求最值模型

题型一：基本不等式及其应用

【解题方法总结】

熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．

【答案】C

故选：C

【答案】D

【解析】x，y都是正数，

故选：D．

例3．（2023·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（????）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】A

故使用正确的个数是0个，

故选：.

题型二：直接法求最值

【解题方法总结】

直接利用基本不等式求解，注意取等条件．

【答案】

故答案为：

【答案】

所以的最小值为.

故答案为：

题型三：常规凑配法求最值

【解题方法总结】

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．

2、注意验证取得条件．

【答案】0

故答案为：0

【答案】3

故答案为：3.

【答案】8

故答案为：8

题型四：消参法求最值

【解题方法总结】

消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

【答案】B

故选：B.

【答案】

【解析】

故答案为:

【答案】.

故答案为：.

题型五：双换元求最值

【解题方法总结】

若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．

1、代换变量，统一变量再处理．

2、注意验证取得条件．

【答案】D

【解析】解：法一：（基本不等式）

故选：D.

故选：D.

题型六：“1”的代换求最值

【解题方法总结】

1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．

1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．

2、注意验证取得条件．

【答案】

故答案为：

【答案】1

故答案为：1

【答案】8

故答案为：8.

题型七：齐次化求最值

【解题方法总结】

齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．

【答案】6

故答案为：6.

题型八：利用基本不等式证明不等式

【解题方法总结】

类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．

例25．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知x，y，z为正数，证明：

(1)求实数，的值；

题型九：利用基本不等式解决实际问题

【解题方法总结】

1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．

2、注意定义域，验证取得条件．

3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？

故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.

故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？

(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？

【解析】（1）该单位每月的月处理成本：

所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.

所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．

【解题方法总结】

利用基本不等式变形求解

【答案】BC

故选：BC.

【答案】ACD

故选：ACD

【答案】BC

故选：BC．

【答案】ABC

故选：ABC.

【答案】BC

故选：BC．

2．（多选题）（2020·海南·高考真题）已知a0，b0，且a+b=1，则（????）

【答案】ABD

故选：ABD

【答案】