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2025年统招专升本湖南省数学（理科）考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，下列结论正确的是（）

A.f(x)在（∞，+∞）上单调递增

B.f(x)在（∞，+∞）上单调递减

C.f(x)在（∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减

D.f(x)在（∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增

答案：D

解析：求导f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=±1。当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0。所以f(x)在（∞，1）上单调递增，在（1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增。

2.已知函数f(x)=e^xex+1，求f(x)的最小值是（）

A.0

B.1

C.e

D.e^2

答案：A

解析：求导f(x)=e^xe，令f(x)=0，得x=1。当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0。所以f(x)在x=1处取得最小值，即f(1)=ee+1=0。

3.设函数y=f(x)在x=a处的二阶导数f(a)=0，且f(a)≠0，则函数y=f(x)在x=a附近的图形是（）

A.极大值

B.极小值

C.拐点

D.无法确定

答案：C

解析：因为f(a)=0，所以函数在x=a处的二阶导数为0，可能存在拐点。又因为f(a)≠0，所以函数在x=a处的导数不为0，拐点存在。

4.设函数y=f(x)的定义域为（0，+∞），且f(x)0，则函数y=f(x)的图形是（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

答案：A

解析：因为f(x)0，所以函数在定义域（0，+∞）上单调递增。

5.已知函数y=f(x)在x=1处取得极大值，则下列结论正确的是（）

A.f(1)=0

B.f(1)≠0

C.f(1)=0

D.f(1)≠0

答案：A

解析：函数在x=1处取得极大值，所以导数f(1)=0。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数y=x^33x+1的单调递增区间是__________。

答案：（∞，1）和（1，+∞）

2.函数y=e^xex+1的最小值点是__________。

答案：x=1

3.设函数y=f(x)在x=a处的二阶导数f(a)=0，且f(a)≠0，则函数y=f(x)在x=a处的图形是__________。

答案：拐点

4.设函数y=f(x)的定义域为（0，+∞），且f(x)0，则函数y=f(x)在定义域内的图形是__________。

答案：单调递增

5.已知函数y=f(x)在x=1处取得极大值，则f(1)=__________。

答案：0

三、解答题（每题10分，共30分）

1.设函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的单调区间和极值。

答案：f(x)的单调递增区间为（∞，1）和（3，+∞），单调递减区间为（1，3）。极小值为f(1)=5，极大值为f(3)=16。

2.已知函数f(x)=x^33x+1，求f(x)在x=0处的切线方程。

答案：切线方程为y=1。

3.设函数y=f(x)在x=a处的二阶导数f(a)=0，且f(a)≠0，证明函数y=f(x)在x=a附近的图形是拐点。

答案：略。