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定积分的应用(面积)

复习：定积分的几何意义曲边梯形面积曲边梯形面积的负值一.求平面图形的面积2

1.以x轴为底边的曲边梯形的面积3

若f(x)有正有负,则曲边梯形面积为xyoab4

2.以y轴为底边的曲边梯形的面积5

3.由连续曲线y=f(x),y=g(x),直线x=a,x=b(ab)所围成的平面图形的面积cxyoab6

3.由连续曲线y=f(x),y=g(x),直线x=a,x=b(ab)所围成的平面图形的面积cxyoab7

特别，时,xyoab8

面积元素:由连续曲线y=f(x)(f(x)?0),直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成的平面图形的面积yo面积9

由连续曲线y=f(x),y=g(x),直线x=a,x=b(ab)所围成的平面图形的面积cxyoab面积元素:10

围成的平面图形的面积为dcxyodcxyo11

解先求两曲线的交点选x为积分变量,例1能否选y为积分变量?12

解先求两曲线的交点选y为积分变量,例113

解两曲线的交点例2选x为积分变量,14

此题选y为积分变量比较好,选择积分变量的原则：(1)尽量少分块；(2)积分容易。15

例3围成的平面图形的面积.xoy解由对称性,交点16

例4求由抛物线和与抛物线相切于纵坐处的切线及x轴所围成的平面图形的面积标解350-4yx将带入抛物线方程，得横坐标17

y=x2t1yx1解例518

练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（1）（2）轴（3）19

练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（4）（5）20

一般地：如右图中的阴影部分的面积为练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（6）或21

12法一：以y作积分变量法二：以x作积分变量（7）练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。22

例5求由下列给定曲线所围成的图形面积。星形线解由图形的对称性可得偶次方化倍角即23

作业：1.(3)(5)(8)2.1.选择积分变量的原则：(1)尽量少分块(2)积分容易。总结：2.准确的作图.24

备用题1.25

解答xyo两边同时对求导26

积分得所以所求曲线为27

2.解为确定积分限，解方程组28

此题如果选作积分变量，必须分成两个部分，即29

3.解解得于是有30

又从而有于是31