2025年大学线代期末试题及答案.docVIP

2025年大学线代期末试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.在二维空间中，向量a=(1,2)和向量b=(3,4)的点积是

A.7

B.8

C.9

D.10

答案：B

2.矩阵A的秩为3，则矩阵A的转置矩阵A^T的秩为

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C

3.如果向量v是矩阵A的特征向量，对应的特征值为λ，那么向量Av等于

A.v

B.λv

C.λ^2v

D.0

答案：B

4.矩阵A可逆的充分必要条件是

A.A的行列式不为0

B.A的秩等于其列数

C.A的特征值都不为0

D.以上都是

答案：D

5.在线性方程组Ax=b中，如果矩阵A的秩小于未知数的个数，那么方程组

A.有唯一解

B.无解

C.有无穷多解

D.不能确定

答案：C

6.行列式det(A)的值等于

A.矩阵A的对角线元素的乘积

B.矩阵A的所有元素的乘积

C.矩阵A的行和的乘积

D.矩阵A的列和的乘积

答案：A

7.如果向量u和向量v是线性无关的，那么向量u+v

A.一定与向量u线性无关

B.一定与向量v线性无关

C.可能与向量u线性相关

D.可能与向量v线性相关

答案：A

8.矩阵A的伴随矩阵adj(A)等于

A.A的转置矩阵

B.A的逆矩阵

C.A的行列式的值

D.A的每个元素的代数余子式矩阵的转置

答案：D

9.如果矩阵A和矩阵B都是可逆的，那么矩阵A+B

A.一定可逆

B.一定不可逆

C.可能可逆

D.可能不可逆

答案：C

10.在线性空间R^n中，向量组α1,α2,...,αk的秩为k，那么这个向量组

A.线性相关

B.线性无关

C.可能线性相关

D.可能线性无关

答案：B

二、多项选择题（每题2分，共10题）

1.下列哪个是线性变换的性质

A.加法封闭性

B.数乘封闭性

C.单位元保持

D.逆元保持

答案：A,B,C

2.矩阵A的秩为n，则下列哪个成立

A.A的行列式不为0

B.A的行向量组线性无关

C.A的列向量组线性无关

D.A有n个非零特征值

答案：A,B,C

3.特征值和特征向量的性质包括

A.特征向量不为零

B.特征值可以是复数

C.不同特征值对应的特征向量线性无关

D.特征值对应的特征向量可以唯一确定

答案：A,B,C

4.矩阵A的伴随矩阵adj(A)的性质包括

A.adj(A)是A的每个元素的代数余子式矩阵的转置

B.A(adj(A))=adj(A)A=det(A)I

C.如果A可逆，那么adj(A)=det(A)A^(-1)

D.如果A不可逆，那么adj(A)也不可逆

答案：A,B,C

5.线性方程组Ax=b的解的情况包括

A.唯一解

B.无解

C.无穷多解

D.以上都是

答案：A,B,C

6.行列式的性质包括

A.行列式等于其转置行列式

B.交换两行，行列式变号

C.某行乘以常数，行列式也乘以该常数

D.某行全为零，行列式为零

答案：A,B,C,D

7.向量组的线性相关性包括

A.如果向量组中有一个向量可以由其他向量线性表示，则向量组线性相关

B.如果向量组中所有向量都线性无关，则向量组线性无关

C.向量组α1,α2,...,αk的秩为k，则向量组线性无关

D.向量组α1,α2,...,αk的秩小于k，则向量组线性相关

答案：A,B,C,D

8.矩阵的秩的性质包括

A.矩阵的秩等于其行向量组的秩

B.矩阵的秩等于其列向量组的秩

C.如果矩阵A可逆，那么秩(A)=n

D.如果矩阵A不可逆，那么秩(A)n

答案：A,B,C,D

9.特征值和特征向量的计算方法包括

A.解特征方程det(A-λI)=0

B.求解方程组(A-λI)x=0

C.选择一个特征值λ，求解对应的特征向量

D.特征向量可以唯一确定特征值

答案：A,B,C

10.线性变换的性质包括

A.加法封闭性

B.数乘封闭性

C.单位元保持

D.逆元保持

答案：A,B,C,D

三、判断题（每题2分，共10题）

1.如果向量u和向量v是线性无关的，那么向量u+v一定与向量u线性无关。

答案：正确

2.矩阵A的伴随矩阵adj(A)等于A的每个元素的代数余子式矩阵的转置。

答案：正确

3.如果矩阵A和矩阵B都是可逆的，那么矩阵A+B一定可逆。

答案：错误

4.在线性空间R^n中，向量组α1,α2,...,αk的秩为k，那么这个向量组线性无关。

答案：正确

5.矩阵A的秩为n，则A有n个非零特征值。

答案：错误

6.特征向量不为零。

答案：正确

7.线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是矩阵A的秩等于增广矩阵的秩