2025年下学期高中数学随机微分方程技术观试卷.docVIP

2025年下学期高中数学随机微分方程技术观试卷

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）

设随机过程(X(t))满足伊藤随机微分方程(dX(t)=\muX(t)dt+\sigmaX(t)dW(t))，其中(W(t))为标准布朗运动，(\mu,\sigma)为常数，则该方程的解为（）

A.(X(t)=X(0)e^{(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigmaW(t)})

B.(X(t)=X(0)e^{(\mu+\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigmaW(t)})

C.(X(t)=X(0)e^{\mut+\sigmaW(t)})

D.(X(t)=X(0)e^{(\mu-\sigma^2)t+\sigmaW(t)})

下列关于布朗运动(W(t))的性质，说法错误的是（）

A.(W(0)=0)几乎必然成立

B.对任意(st)，(W(t)-W(s))服从正态分布(N(0,t-s))

C.布朗运动的样本轨道处处可微

D.布朗运动具有独立增量性

设(f(t,x))和(g(t,x))是满足利普希茨条件和线性增长条件的函数，则伊藤随机微分方程(dX(t)=f(t,X(t))dt+g(t,X(t))dW(t))的解的存在性和唯一性是由（）保证的

A.皮卡迭代法

B.伊藤引理

C.Gronwall不等式

D.中心极限定理

设(X(t))是伊藤过程，(Y(t)=f(t,X(t)))，其中(f(t,x))具有二阶连续偏导数，则根据伊藤引理，(dY(t))等于（）

A.(\frac{\partialf}{\partialt}dt+\frac{\partialf}{\partialx}dX(t)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f}{\partialx^2}(dX(t))^2)

B.(\frac{\partialf}{\partialt}dt+\frac{\partialf}{\partialx}dX(t))

C.(\frac{\partialf}{\partialt}dt+\frac{\partialf}{\partialx}dX(t)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f}{\partialx^2}(dt)^2)

D.(\frac{\partialf}{\partialt}dt+\frac{\partialf}{\partialx}dX(t)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f}{\partialx^2}(dW(t))^2)

考虑随机微分方程(dX(t)=-aX(t)dt+bdW(t))，其中(a0)，(b0)为常数，该方程描述的是（）

A.几何布朗运动

B.奥恩斯坦-乌伦贝克过程

C.泊松过程

D.维纳过程

设(W(t))是标准布朗运动，计算伊藤积分(\int_0^tW(s)dW(s))的结果为（）

A.(\frac{1}{2}W(t)^2)

B.(\frac{1}{2}W(t)^2-\frac{1}{2}t)

C.(W(t)^2-t)

D.(tW(t)-\int_0^tsdW(s))

下列关于随机微分方程数值解法的说法，正确的是（）

A.欧拉-马尔雅金方法是一种显式数值解法

B.米尔恩方法的局部截断误差为(O(h^3))

C.随机龙格-库塔方法不需要满足均方稳定性条件

D.数值解法的收敛性是指数值解依概率收敛到精确解

设(X(t))是平稳高斯过程，其自相关函数为(R_X(\tau)=E[X(t)X(t+\tau)])，则(X(t))的功率谱密度(S_X(\omega))是(R_X(\tau))的（）

A.傅里叶变换

B.拉普拉斯变换

C.希尔伯特变换

D.Z变换

在金融衍生品定价中，布莱克-斯科尔斯模型假设股票价格服从（）

A.算术布朗运动

B.几何布朗运动

C.奥恩斯坦-乌伦贝克过程

D.分数布朗运动

设(X(t))和(Y(t))是两个相互独立的布朗运动，则(Z(t)=X(t)+Y(t))的协方差函数(Cov(Z(s),Z(t)))等于（）

A.(\min(s,t))

B.(2\min(s,t))

C.(\min(s,t)^2)