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2025年下学期高中数学社会调查评价试卷

一、单项选择题（每题4分，共40分）

某社区为优化垃圾分类方案，对居民投放习惯进行统计分析，发现每周可回收物投放量$y$（单位：kg）与居民户数$x$的关系满足线性回归方程$\hat{y}=12.5x+38$，则下列说法正确的是（）

A.每户居民每周必投放12.5kg可回收物

B.居民户数每增加1户，投放量平均增加38kg

C.线性回归方程中的常数项38表示当居民户数为0时的投放量

D.该方程可准确预测任何户数对应的投放量

某城市地铁线路规划中，需计算两站点间的最短路径。若将站点抽象为平面直角坐标系中的点，已知A站坐标为$(1,2)$，B站坐标为$(4,6)$，则两站之间的直线距离为（）

A.5B.$\sqrt{13}$C.7D.$\sqrt{29}$

某超市推出“第二件半价”促销活动，若某商品原价为10元/件，成本为4元/件，设购买件数为$x$，利润为$y$元，则当$x=3$时的利润为（）

A.14元B.16元C.18元D.20元

某学校高一年级学生身高数据服从正态分布$N(165,25)$，则身高在155cm~175cm范围内的学生占比约为（）

A.68.3%B.95.4%C.99.7%D.100%

在“校园艺术节座位设计”项目中，某班级需将30名学生安排成若干排，每排人数不超过8人且不少于3人，则不同的排法种数为（）

A.3B.4C.5D.6

某共享单车公司为优化车辆调度，统计了某区域每日骑行时长（单位：分钟），数据如下：20,35,40,45,60,60,75。则该组数据的中位数和众数分别是（）

A.45,60B.45,40C.40,60D.52.5,60

某工厂生产的零件尺寸误差$X$（单位：mm）服从区间$[-2,2]$上的均匀分布，则误差绝对值小于1mm的概率为（）

A.0.25B.0.5C.0.75D.1

某社区拟建造一个扇形花坛，周长固定为20米，要使花坛面积最大，则扇形的半径应为（）

A.4米B.5米C.6米D.8米

在“人口老龄化调查”中，某地区60岁以上人口占比为18%，现随机抽取100人，则其中60岁以上人数$X$服从（）

A.二项分布$B(100,0.18)$B.正态分布$N(18,14.76)$

C.泊松分布$P(18)$D.均匀分布$U(0,100)$

某学校为制定校服采购方案，测量了100名学生的身高，得到数据如下表：

|身高区间（cm）|150-155|155-160|160-165|165-170|170-175|

|----------------|---------|---------|---------|---------|---------|

|人数|10|25|30|20|15|

则这组数据的平均数约为（）

A.162.5cmB.163cmC.163.5cmD.164cm

二、填空题（每题5分，共30分）

某小区物业统计了近5年的绿化面积（单位：$m^2$）：2000,2500,3000,3500,4000，若用线性回归方程预测2026年的绿化面积，可设年份为变量$t$（2021年记为$t=1$），则回归方程$\hat{y}=at+b$中的斜率$a=$________。

某城市居民用水收费标准为：每户每月用水量不超过10吨时，每吨2元；超过10吨的部分，每吨3元。若某户居民某月水费为28元，则该户用水量为________吨。

在“校园快递柜选址”项目中，需计算快递柜到三栋宿舍楼的距离之和最小值。若三栋楼坐标分别为$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(1,\sqrt{3})$，则快递柜的最优位置坐标为________。

某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人，现随机抽取5人参加数学竞赛，则抽到3名男生和2名女生的概率为________（用组合数表示）。

某公司研发的智能手表需测试续航时间，收集到10组数据：48,52,55,58,60,62,65,68,70,72（单位：小时），则该组数据的方差为________。

某商场电梯从1楼到5楼需经过4个楼层间隔，若电梯在每个间隔运行时间为15秒，停靠时间为10秒（无人上下时不停靠），则从1楼到5楼的最短用时为________秒。

三、解答题（共80分）

（15分）某社区为提升养老服务质量，拟建造一个矩形养老活动中心，周长固定为80米，设矩形的长为$x$米，面积为$S$平方米。

（1）求$S$关于$x$的函数关系式，并写出定义域；

（2）当长和宽分别为多少时，活动中心面积最大？最大面积是多