第一篇第2讲命题及其关系充分条件与必要条件.docVIP

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2012·福建)下列命题中，真命题是 ()．

A．?x0∈R，ex0≤0

B．?x∈R,2xx2

C．a＋b＝0的充要条件是eq\f(a,b)＝－1

D．a1，b1是ab1的充分条件

解析因为?x∈R，ex0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出eq\f(a,b)＝－1，故排除C.应选D.

答案D

2．(2013·徐州模拟)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()．

A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

解析否命题既否定题设又否定结论，故选B.

答案B

3．(2012·重庆)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的 ()．

A．既不充分也不必要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．充要条件

解析∵x∈[0,1]时，f(x)是增函数，又∵y＝f(x)是偶函数，∴x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．∴x∈[3,4]时，f(x)是减函数，充分性成立．反之：x∈[3,4]时，f(x)是减函数，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，∴x∈[－1,0]时，f(x)是减函数，∵y＝f(x)是偶函数，∴x∈[0,1]时，f(x)是增函数，必要性亦成立．

答案D

4．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是 ()．

A．0a≤1 B．a1

C．a≤1 D．0a≤1或a0

解析法一(直接法)当a＝0时，x＝－eq\f(1,2)符合题意．

当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，

则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a0，,\f(1,a)0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1，,a0))?a0；

若方程两根均负，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a≥0，,－\f(2,a)0，,\f(1,a)0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a0))?0a≤1.

综上所述，所求充要条件是a≤1.

法二(排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C.

答案C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2012·盐城调研)“meq\f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．

解析x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤eq\f(1,4).

答案充分不必要

6．(2012·扬州模拟)下列四个说法：

①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；

②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；

③“x2”是“eq\f(1,x)eq\f(1,2)”的充分不必要条件；

④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．

其中说法不正确的序号是________．

解析①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③eq\f(1,x)eq\f(1,2)，则eq\f(1,x)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－x,2x)0，解得x0或x2，所以“x2”是“eq\f(1,x)eq\f(1,2)”的充分不必要条件，③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．

答案①②

三、解答题(共25分)

7．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

(1)若ab＝0，则a＝0或b＝0；

(2)若x2＋y2＝0，则x，y全为零．

解(1)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．

否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．

逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．

(2)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．

否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．

逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．