高一期中数学复习讲解资料.docxVIP

高一期中数学复习讲解资料

各位同学，期中考试临近，数学的复习备考工作已进入关键阶段。高一数学是整个高中数学学习的基石，其内容的掌握程度直接影响后续的学习效果。本次期中复习，我们不求“题海战术”的蛮力，而重“提纲挈领”的智慧，旨在帮助同学们梳理知识脉络，巩固核心概念，掌握基本方法，提升解题能力。希望这份讲解资料能为大家的复习之路点亮一盏明灯。

一、集合与常用逻辑用语：数学语言的基石

集合是现代数学的基本语言，是我们描述和研究数学对象的起点。常用逻辑用语则是数学推理的基础，确保我们的表达准确而严谨。

1.1集合的概念与表示

*核心概念：集合的定义（某些指定对象的全体）、元素与集合的关系（属于∈、不属于?）、集合中元素的三大特性（确定性、互异性、无序性）——这是判断一组对象能否构成集合、以及解决集合问题（尤其是含参数问题）的重要依据。

*集合的表示方法：列举法（适用于元素有限且较少的集合）、描述法（{x|P(x)}，其中P(x)是元素x所满足的共同特征）。描述法中，代表元素的形式（如x,y,(x,y)）和取值范围（若未明确，通常指使表达式有意义的实数范围）必须清晰。

*常用数集：自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R，务必准确记忆其符号表示。

要点提示：在解决集合问题时，首先要明确集合的“身份”——它是由什么类型的元素构成的？元素满足什么条件？

1.2集合间的基本关系

*子集（?）与真子集（?）：理解“包含”与“真包含”的区别。空集（?）是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。这一点在解有关子集个数问题或由子集关系求参数范围时极易被忽略。

*集合相等：两个集合的元素完全相同。证明集合相等通常采用“互相包含”的策略。

*子集个数：若一个集合含有n个元素，则它的子集个数为2?，真子集个数为2?-1，非空真子集个数为2?-2。

1.3集合的基本运算

*交集（A∩B）：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合。

*并集（A∪B）：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合。

*补集（CUA）：设U为全集，由所有不属于集合A但属于集合U的元素所组成的集合。

*运算性质：熟练掌握交换律、结合律、分配律以及德摩根定律等，并能利用Venn图直观理解和解决问题。Venn图是集合运算中数形结合思想的重要体现。

1.4常用逻辑用语

*充分条件与必要条件：

*若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。

*若p?q，则p是q的充要条件。

判断时，首先要分清条件p和结论q，然后根据定义或集合间的包含关系（小范围推大范围）进行判断。

*全称量词与存在量词：

*全称命题“?x∈M,p(x)”的否定是“?x∈M,?p(x)”。

*特称命题“?x∈M,p(x)”的否定是“?x∈M,?p(x)”。

否定时，要同时改变量词和否定结论。

复习建议：本部分内容概念性强，多以选择题、填空题形式出现。复习时要紧扣定义，理解其内涵与外延，注重通过具体实例来加深理解，避免死记硬背。

二、不等式：数量大小关系的桥梁

不等式是研究数量大小关系的重要工具，在函数、方程等诸多领域都有广泛应用。

2.1不等式的基本性质

*核心性质：对称性、传递性、可加性（同向可加）、可乘性（注意不等号方向：两边同乘正数，方向不变；同乘负数，方向改变）。这些性质是不等式变形、证明和解不等式的依据。

*注意：不等式两边不能随意平方或开方，除非明确两边均为非负数。

2.2基本不等式（均值不等式）

*形式：若a0,b0，则(a+b)/2≥√(ab)，当且仅当a=b时等号成立。

*意义：算术平均数不小于几何平均数。

*应用：求最值（“一正、二定、三相等”是使用基本不等式求最值的关键条件，缺一不可）。若不满足“定”，常需通过配凑、常数代换等技巧构造“定值”；若等号取不到，则可能需要结合函数单调性等其他方法。

2.3一元二次不等式

*解法：

1.标准化：将不等式化为ax2+bx+c0（或≥0，0，≤0）的形式，其中a0（若a0，两边同乘-1，注意不等号方向改变）。

2.求根：计算判别式Δ=b2-4ac，求解对应方程ax2+bx+c=0的根（若有）。

3.定解：根据二次函数y=ax2+bx+c的图像（开口方向、与x轴交点）写出不等式的解集。

*与二次函数、二次方程的联系：三者紧密相关，体现了“数形结合”和“函数与方程”的思想。二次函数的图像是理解一元二次不等式解集的直观工具。

复习建议：不等式的性质是基础，要熟练运用。基