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高校优化理论复习题精讲精练

一、复习总览与策略

优化理论是运筹学的核心组成部分，也是现代科学决策的重要工具，其思想与方法广泛应用于工程、经济、管理、计算机等多个领域。对于高校学生而言，掌握优化理论的基本概念、原理和方法，不仅是课程学习的要求，更是培养逻辑思维和解决实际问题能力的关键。

本复习材料旨在通过对核心知识点的梳理、典型例题的精讲以及解题技巧的提炼，帮助同学们系统回顾优化理论的主要内容，提升解题能力。复习时，建议同学们首先回归教材，夯实基础，确保对基本概念（如可行解、最优解、凸集、凸函数、梯度、Hesse矩阵等）有清晰、准确的理解。在此基础上，通过适量的习题练习，熟悉各类问题的建模方法和求解步骤，总结解题规律，做到举一反三。切勿满足于简单记忆公式和算法步骤，更要理解其背后的思想和适用条件。

二、核心知识点回顾与典型题型精讲

（一）线性规划基础

1.基本概念与模型

线性规划问题的标准形式是理解后续一切求解方法的基础。其特征是目标函数和约束条件均为线性函数，且变量非负。同学们需熟练掌握如何将一般形式的线性规划问题转化为标准形式，包括目标函数的转换（最大化与最小化）、不等式约束的处理（引入松弛变量或剩余变量）、自由变量的处理等。

典型题型1：线性规划模型的建立

*例题：某工厂生产A、B两种产品，需消耗甲、乙两种原料。已知生产单位A产品需甲原料a1单位、乙原料b1单位，可获利c1元；生产单位B产品需甲原料a2单位、乙原料b2单位，可获利c2元。该厂现有甲原料总量A，乙原料总量B。问如何安排生产，才能使该厂获利最大？

*精讲：此类问题的关键在于明确决策变量、目标函数和约束条件。决策变量通常是生产的产品数量。目标函数是总利润最大化。约束条件则是原料的供应量限制。建模时需注意单位的一致性和逻辑的严谨性。在后续求解时，准确的模型是成功的一半。

2.线性规划的图解法

图解法适用于含有两个决策变量的线性规划问题，其直观性有助于理解线性规划解的基本性质，如可行域为凸多边形（或无界区域），最优解若存在则必在可行域的顶点（极点）处取得。

同学们应掌握通过作图确定可行域，并根据目标函数等值线的移动方向找到最优顶点的方法。同时，要理解无可行解、无界解、唯一最优解、多重最优解等情况在图形上的表现。

3.单纯形法原理与应用

单纯形法是求解线性规划问题的通用方法，其核心思想是从一个基本可行解（极点）出发，通过换基迭代，不断改进目标函数值，直至找到最优解或判断无界。

*核心步骤：

*确定初始可行基和初始基本可行解。

*最优性检验：计算检验数，判断当前解是否最优。对于最大化问题，所有非基变量检验数≤0时达到最优。

*基变换：若未达最优，选择检验数最大的非基变量为进基变量；根据最小比值法则确定出基变量，保证迭代后解的可行性。

*重复迭代，直至最优或无界。

*人工变量法：当约束条件中存在“≥”或“=”型，且无法直接获得初始可行基时，需引入人工变量构造初始可行基（如大M法、两阶段法）。同学们需重点掌握两阶段法的原理，第一阶段目标是消除人工变量，判断原问题是否有可行解；第二阶段在可行基上求解原问题。

典型题型2：单纯形法求解

*例题：（给出一个具体的线性规划模型，包含2-3个变量，需用单纯形表求解）

*精讲：在利用单纯形表进行计算时，务必注意计算的准确性。检验数的计算、θ值的计算是关键步骤，容易出错。要理解每个表格中数字的含义，以及行变换的目的。对于人工变量法，要清楚人工变量在目标函数中的系数设定（大M法中为-M，两阶段法第一阶段目标函数为人工变量之和）。在迭代过程中，若某非基变量检验数为正（最大化），但其对应的列向量所有分量均≤0，则问题无界。

4.对偶理论

对偶问题是线性规划中的重要概念，它不仅为理解线性规划提供了新的视角，也为某些复杂问题的求解提供了便利（如灵敏度分析、分解算法等）。

*对偶问题的形式：要熟练掌握原问题与对偶问题之间的对应关系（目标函数、变量、约束条件的数量与类型）。

*对偶性质：如弱对偶性、强对偶性（若原问题和对偶问题均有可行解，则两者均有最优解，且最优值相等）、互补松弛定理（原问题最优解中，松驰变量不为零的约束对应的对偶变量必为零；对偶问题最优解中，剩余变量不为零的约束对应的原问题变量必为零）。

*对偶单纯形法：其思想与单纯形法相反，是在保持检验数最优性（对偶可行）的前提下，通过迭代逐步消除原问题的不可行性。适用于初始解对偶可行但原问题不可行的情况，或用于进行灵敏度分析。

典型题型3：对偶问题的构建与互补松弛性应用

*例题：写出给定线性规划问题的对偶问题，并利用互补松弛定理，在已知原问题最优解的情况下，求对偶问题的最优解。

*精讲：构建对偶