2026《高考数学一轮复习微专题106讲》93.有心圆锥曲线的第三定义及四大应用.docxVIP

93.有心圆锥曲线第三定义的四大应用

一．基本原理

1．有心圆雉曲线第三定义

平面内动点到两定点（或）的斜率乘积等于常数的点的轨迹为椭圆或双曲线．其中两定点为椭圆或双曲线的顶点．当时为椭圆，当时为双曲线．具体地，分为以下结论：

【结论1】.为椭圆的长轴两端点，是椭圆上异于的任一点，则有．

证明：设，则，

又，

代入上式可得．

【结论2】.为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则有．（同理可得）

一般地，上述结论还可以进一步推广：

【结论3】．已知是椭圆上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上．当PA、PB斜率存在时，则有．

证明:设，，则．所以①,②

由①－②得，所以，所以

为定值．

【结论4】．在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则有：．（同理可证）

二．典例分析

例1.椭圆的左、右顶点分别为A和B，点P在C上，设直线、的斜率分别为、，若，则的取值范围是______.

解析：由椭圆第三定义，，所以，

，故的取值范围是.

例2（2015·新课标2卷）已知A、B是双曲线E的左、右顶点，点M在E上，为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）

A. B.2 C. D.

解析：设双曲线，由题意，，，，所以直线和直线的斜率分别为和，由双曲线第三定义，，所以离心率.

例3．椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为

A． B． C． D．

解析：设椭圆的右顶点为,由于点均在上且关于轴对称,所以直线,也关于轴对称,即

即故选：．

例4．已知椭圆：，过中心的直线交于，两点，点在轴上，其横坐标是点横坐标的3倍，直线交于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

【详解】??

设，，则，，设、、，分别为直线、、的斜率，则，，，因直线是以为直径的圆的切线所以，，所以，又在直线上，所以，因、在上，所以，，

两式相减得，整理得，故，即，，故，故选：D

例5．已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（????）

A． B．C． D．

解析：设，由直线与椭圆交于两点可知两点关于原点对称，所以且，由题意知：，两式相减得：

，即，

又，由椭圆的离心率的取值范围是，

即，所以，即，故选：D.

例6．已知过原点O的直线AB交椭圆于A，B两点，点A在第一象限，过点A作AD⊥x轴交椭圆于点D，点E在线段AD上，且满足，连接BE并延长交椭圆于点P，若，则椭圆的离心率为（????）

A． B．C． D．

解析：设，则，由AD⊥x轴，，可得，

又因为，则，设，则，

又因为，所以，解得：，所以，则，所以离心率．故选：A.

例7.（2019全国2卷）已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记的轨迹为曲线.

（1）求的方程，并说明是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点.

（i）证明：是直角三角形；

（ii）求面积的最大值.

解析：（1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为.

（i）设坐标为，则由（1）可知：，另一方面，由于，那么由上述两式可知：，进一步可得：，故为直角三角形.

例8.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若点分别是椭圆的左右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于的任意一点，直线交于点.

①设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；

②设过点垂直于的直线为，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.

解析：（1）椭圆的标准方程为.

（2）①设，则直线的方程为，令得，因为，因为，所以，因为在椭圆上，所以，所以为定值，

②直线的斜率为，直线的斜率为，则直线的方程为，所以直线过定点.

三．习题演练

1．已知双曲线（，），、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，且直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

解析：设、，则，所以，，

由点、在双曲线上得，

两式相减得，可得，因为，所以，，，因此，.故选：C.

2．已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，若的最小值为2，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

解析：由题意，可设点，，．，且．

两式相减得．再由斜率公式得：．

根据的最小值为2，可知，所以a=b.所以，故选A

4．双曲线的左右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜