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2025年数论试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.若整数a和b满足gcd(a,b)=1，则称a和b互质。下列哪个选项中的两个整数是互质的？

A.8和12

B.9和15

C.14和21

D.16和25

答案：D

2.欧拉函数φ(n)表示小于n的正整数中与n互质的数的个数。若n=30，则φ(30)的值是多少？

A.4

B.6

C.8

D.10

答案：C

3.模运算中，若a≡b(modm)，则a和b除以m的余数是什么？

A.相等

B.不相等

C.可能相等也可能不相等

D.无法确定

答案：A

4.在数论中，费马小定理指出，若p是质数，a是任意整数，则a^p≡a(modp)。下列哪个选项正确应用了费马小定理？

A.2^7≡2(mod7)

B.3^5≡3(mod5)

C.4^11≡4(mod11)

D.5^13≡5(mod13)

答案：B

5.拉格朗日定理指出，在任意实数域上的多项式，其根的个数最多等于其次数。下列哪个选项正确描述了拉格朗日定理？

A.多项式的根的个数可以大于其次数

B.多项式的根的个数最多等于其次数

C.多项式的根的个数最少等于其次数

D.多项式的根的个数与其次数无关

答案：B

6.整数分解定理（算术基本定理）指出，每个大于1的整数都可以唯一地表示为素数的乘积。下列哪个选项正确应用了整数分解定理？

A.12=2^23

B.18=23^2

C.24=2^33

D.30=235

答案：D

7.同余方程ax≡b(modm)有解的条件是什么？

A.gcd(a,m)=1

B.gcd(a,m)≠1

C.a和b互质

D.m是质数

答案：A

8.二次剩余是指一个数在模p（p为质数）意义下的平方根。若p=7，则2在模7下是否为二次剩余？

A.是

B.否

C.无法确定

D.取决于2

答案：B

9.欧拉常数γ是欧拉-马斯刻若尼常数，其值约为0.57721。下列哪个选项正确描述了欧拉常数？

A.γ是π的一个倍数

B.γ是自然对数的底e的一个倍数

C.γ是一个无理数

D.γ是一个有理数

答案：C

10.数论中的同余类是指模m的所有余数组成的集合。下列哪个选项正确描述了同余类？

A.同余类中的元素可以相加但不可相乘

B.同余类中的元素可以相乘但不可相加

C.同余类中的元素既不可相加也不可相乘

D.同余类中的元素既可相加也可相乘

答案：D

二、多项选择题（每题2分，共10题）

1.下列哪些数是质数？

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：A,B,D

2.下列哪些性质是欧拉函数φ(n)的性质？

A.φ(n)是偶数

B.φ(n)是奇数

C.φ(n)≤n

D.φ(n)≥1

答案：C,D

3.下列哪些同余式成立？

A.5≡2(mod3)

B.7≡1(mod6)

C.9≡0(mod3)

D.10≡4(mod6)

答案：A,B,C

4.下列哪些是费马小定理的应用？

A.2^13≡2(mod13)

B.3^17≡3(mod17)

C.4^19≡4(mod19)

D.5^23≡5(mod23)

答案：A,B,C,D

5.下列哪些是整数分解定理的应用？

A.20=2^25

B.28=2^27

C.36=2^23^2

D.45=3^25

答案：A,B,C,D

6.下列哪些是同余方程的解？

A.3x≡2(mod5)

B.4x≡3(mod6)

C.5x≡4(mod7)

D.6x≡5(mod8)

答案：A,C

7.下列哪些数是二次剩余？

A.1(mod3)

B.2(mod3)

C.1(mod5)

D.4(mod5)

答案：A,C,D

8.下列哪些是欧拉常数γ的性质？

A.γ是无理数

B.γ是π的一个倍数

C.γ是自然对数的底e的一个倍数

D.γ是一个有理数

答案：A

9.下列哪些是同余类的性质？

A.同余类中的元素可以相加

B.同余类中的元素可以相乘

C.同余类中的元素是互质的

D.同余类中的元素是相等的

答案：A,B

10.下列哪些是数论中的重要概念？

A.质数

B.欧拉函数

C.同余

D.二次剩余

答案：A,B,C,D

三、判断题（每题2分，共10题）

1.若a≡b(modm)，则a和b除以m的余数相等。

答案：正确

2.欧拉函数φ(n)总是